7.3.1 联盟博弈模型
合作博弈可以按效益是否可以转移分为两类。其中,可转移效益是指联盟中允许参与者对得到的效益重新分配,一个参与者可以分享另一个参与者的效益,即效益可转移。可转移效益合作博弈的基本形式就是联盟型合作博弈,也称为特征函数型博弈。在效益可转移的联盟博弈中,最重要的两个概念是联盟和分配[8]。下面就给出有关联盟的概念。
定义7-1(联盟)
设n个参与者集合N={1,2,…,n},N的任意子集S⊆N被称为一个联盟。其中,空集∅、单个参与者的联盟{i}都是特殊的联盟,全集N称为总联盟。
定义7-2(联盟效益函数)
对于任意联盟S,令v(S)表示联盟中成员通过合作所能够获得的最大效益,即S与N-S={i|i∈N,i∉S}博弈时,S的最大效益。v(S)称为效益函数。
其中,v(∅)=0,v({i})也可简记为v(i),表示参与者i与其他所有参与者博弈时的最大效益,同理v({1,2,3})也可以简记为v(1,2,3)。
定义7-3(联盟可加性)
对于任意联盟S,T,且S∩T=∅,有v(S∪T)≥v(S)+v(T),则称该效益函数满足超可加性,该联盟博弈是超可加的;对于任意联盟S,T,且S∩T=∅,有v(S∪T)≤v(S)+v(T),则称该效益函数满足次可加性,该联盟博弈是次可加的;对于任意联盟S,T,且S∩T=∅,有v(S∪T)=v(S)+v(T),则称该效益函数满足可加性,该联盟博弈是可加的。(https://www.daowen.com)
一方面,只有当效益函数满足超可加性时,两个联盟才有形成新联盟的必要,并会产生超出原先的效益,以供分配。另一方面,如果一个联盟不满足效益函数超可加性,则联盟中的参与者便没有动机形成联盟,现有的联盟也将面临瓦解的风险。而效益函数是研究联盟博弈的基础,确定效益函数的过程实际上也正是建立合作博弈模型的过程。
根据效益函数的性质,合作博弈中有以下几种特殊的类型。
·对称合作博弈:v(S)仅与S的个数有关。
·常和合作博弈:v(S)+v(N-S)=v(N)。
·凸博弈:v(S)+v(T)≤v(S∪T)+v(S∩T)。在凸博弈中,参与者对于联盟的边际贡献随着联盟的扩大而增加,即合作是规模报酬递增的。
3人博弈v1:考虑一个简单的3人合作博弈,其中参与者1打算卖掉一件物品,参与者2和3分别出价9元和10元。试分析该博弈中存在的联盟。
如果参与者1将物品卖给参与者2,并出价x元,则参与者2赢利9-x元,同时联盟{1,2}的总效益为9元。同理可知联盟{1,3}的总效益为10元,可以记为v=(1,2)=9,v(1,3)=10。对于其他联盟,单个局中人或两个买方在一起时都不可能存在赢利,即v(i)=v(2,3)=0,i=1,2,3。当3位参与者一起交易时,参与者1会把物品卖给参与者3,v(1,2,3)=10。在此博弈中v(S)显然满足超可加性,因此可以建立联盟博弈,记为〈N,v〉。
