7.2.3 二人讨价还价纳什解
鲁宾斯坦讨价还价模型
本小节我们将在上一小节的模型基础上进一步提出二人讨价还价纳什解(基于合作博弈理论)。首先,我们阐明以下几点概念。
·分配与可行分配
二人讨价还价博弈的分配一般用s=(s 1,s 2)表示,其中s 1和s 2分别代表两个博弈方的分配。分配受问题条件和基本理性要求的约束,例如,在两个人分100元的问题中,首先分配必须满足双方利益之和不超过100,其次双方的利益分配必须都在0～100之间。满足上述两个要求的分配称为本博弈的“可行分配”。
·可行分配集
可行分配集:满足问题条件和基本理性要求约束的分配构成的集合。
二人讨价还价的可行分配可以用集合S={(s 1,s 2)|0≤si≤m,s 1+s 2≤m}表示,其中i=1,2,…,m是最大可分配利益,集合S称为“可行分配集”。
·效用函数与效用配置集
由于分配中各博弈方的性格偏好不同、策略选择不同,因而需要考虑博弈方的风险态度,而且讨价还价的对象常常不是现金利益,而是实物、资源或项目等,因此还需要考虑博弈方的主观效用评价问题。所以二人讨价还价问题不仅需要考虑分配s=(s1,s2),也需要考虑效用u=(u 1,u 2),u i是博弈方i的期望效用,是可行分配集到实数集(S→R)的实值映射函数,一般是博弈方自身利益的函数。
效用配置集:所有可能的效用配置构成“效用配置集”,它是可行分配集S在效用函数下的像U。S与U一般都是凸紧集。当利益分配的是现金且博弈方是风险中性的时候,期望效用等于利益,即ui=ui(s)=ui(si)=si。
·谈判破裂点
谈判破裂时博弈双方的利益称为“谈判破裂点”或“破裂点”,通常用d=(d 1,d 2)表示,其中d i是博弈方i在谈判破裂时可以得到的收益。谈判破裂点也是讨价还价双方的可行选择之一。
我们还以7.2.2节中的项目合作谈判为例,若小丁不接这个项目还有另外一个能获利5 000元的项目,而小陈则没有其他的获利机会,那么如果小丁和小陈之间的谈判破裂,小丁可获得5 000元,小陈则一无所有,用谈判破裂点表示就是d=(d 1,d 2)=(5 000,0)。
要让一个具体的讨价还价模型有实际的讨论意义,应至少存在一个可行分配s∈S,其对博弈双方的效用大于谈判破裂点的效用,即满足对于任意博弈方i,都有ui(s)≥u i(d)。
了解以上概念之后,我们重新给出二人讨价还价问题的定义,一般我们用B来表示该抽象模型,记作:
其中S是可行分配集,d为破裂点,u 1,u 2是两个博弈方各自的效用函数。二人讨价还价问题可以是对称的,也可以是不对称的,对称是指博弈双方在立场地位、效用函数、破裂点等方面无差异,可以用效用配置集的对称性表示,即若(u 1,u 2)∈U,则(u 2,u 1)∈U。
要得到最终的纳什解,分配需满足公平和有效率两个基本要求。公平即要求最终结果与谈判本身之外的因素无关(当然,双方的信息可以是不对称的,但这不属于不公平的范围)。如果谈判者最终没有达成一致,则一般情况下他们的分配和所得必须是相同的,这就是公平。有效率要求可以包含帕累托效率和总体利益最大化两个层次的要求,而总体利益最大化经常与个体理性(人们总是想要站在天平倾向的一侧)相矛盾,因而有效率性要求我们采用与个体理性没有矛盾的帕累托效率。简单来说,对于谈判既定的分配结果,一方不变,另一方的收益没有增加的空间。
事实上,除了帕累托效率和公平性,纳什解的导出还有另外两个基本条件,我们将在后面给出。在此之前,我们先详细介绍上面提出的公平性和有效率性。
·公平性
在自愿交易、合作活动中,人们比较容易接受公平的交易或合作方案,如果人们认为一个方案不公平,即使其能够带来更多的利益,人们也常常会拒绝接受。如果双方的情况是对称的,则双方就可以得到相同的待遇——显然是一个普遍接受的公平原则。不难看出,交换两个人的位置不影响最终的合作解,因此,公平性还被称作对称性或匿名性。当然,这还要求谈判的解法与谈判之外的其他因素无关。假设两个参与者没有就谈判结果达成一致,若他们的后果是一样的,那么他们的分配也必须是一样的。
但这里的问题是威吓的支付,也就是双方谈崩了,不合作了,谈判方的最好替代方案(best alternatives to a negotiated agreement)的收益就会产生决定性作用。简单的情况是0,但也可能是将用于分配的合作资源产生其他收益——这代表着一方谈判的底气。比如,两人合作演戏赚钱,如果两人不合作,就都只能跑龙套,挣一样的辛苦钱,这时威吓的支付相等,那分配就该是平均的。如果其中一人还能在别的地方扮个角色,则他的底气就不一样,谈判的结果也会不一样。这也给绝对平均的可行性一个注脚:在现实生活中,对称性里的相同条件在博弈的角度来看是威吓的后果相同。平均不是公平,而不公平有时也是“合理”的。
·有效率性
谈判的结果必须有帕累托效率性,即谈判结束的分配结果,其中一方的收益不变,则另一方的收益没有增加的空间。如果是可转移的收益,比如说合作的利润,那么两者分配到收益的和要等于合作的总收益。这是有效率性。
帕累托效率公理:若(s1,s2)和(s′1,s′2)均是二人讨价还价问题的可行分配解,且u 1(s1)≥u 1(s′1),u 2(s 2)≥u 2(s′2),那么(s′1,s′2)必定不是讨价还价博弈的纳什解。
如图7-3所示,灰色部分表示二人讨价还价的效用配置集合,满足帕累托效率要求的效用配置就是效用配置集边界上的解集组成的线条,也称为“帕累托效率边界”。关于帕累托边界上的点(u*1,u*2),效用配置集上的其他任何一点(u 1,u 2)都不会同时满足u 1≥u*1,u 2≥u*2。
帕累托效率公理也可以表达为“讨价还价问题的解落在帕累托边界上”。帕累托效率公理表明:虽然讨价还价的结果可能与双方的谈判技巧相关,但两个博弈方讨价还价的结果必须落在该边界上,双方谈判的内容只是究竟取到该边界上的哪一点而已。需要注意的是,帕累托效率(又称作帕累托最优)并不是集体利益的最大化,而是除此之外,不存在一种策略能够改善某一方的境况,而不使任何其他人受损。
事实上,除了公平性和帕累托有效率性,纳什解的导出还要注意以下两点。
①若有一个单调递增的线性变化函数作用于效用配置,不影响最后的谈判结果。通俗地讲,即使收益的计算方法或者收益的计量单位变了,谈判的结果也不变。这个叫作线性变换无关(independence of linear transformation)。好比在谈判瓜分合作利益时,是用美元还是用人民币结算,或者每人是不是先发一笔固定的金额再行分配,这些可选项会改变分配公式,但分配结果经过折算和变换后最终都是一回事。
②在可能的谈判解集合中增添或删去纯粹凑数的、不可能成为谈判结果的那些方案,最终的合作解不变。比如说谈判中有人建议:嗨,干脆咱哥们一起把这钱拿去吃喝玩乐花掉得了。无论有没有这样不靠谱的提案,谈判的结果都将不变。
至此,我们对于纳什谈判解推导所需的4个公理进行简单的概括和总结。
(1)不变性(invariance)
对于任何单调递增的线性变化F,合作解独立于衡量效用的单位,即U*[F(U),F(X)]=F[U*(U,X)]。
(2)有效性(efficiency)
合作解满足帕累托最优,即若(U 1,U 2)＞U*,则(U 1,U 2)不属于可行配置集。
(3)独立于无关选择(independent of irrelevant alternatives)
如果我们从可行集合X中去掉一部分,得到一个较小的集合Y,只要U*不是去掉的一部分,那么最终的U*不变。
(4)对称性(symmetry)
对称性又叫公平性、匿名性。交换两个人的位置不影响合作解。
这4个基本公理在解决对称和非对称的二人讨价还价博弈问题中都发挥着重要的作用。因此,为了更好地理解上文提出的定义和概念,我们分成两种情况来讨论:对称讨价还价博弈和非对称讨价还价博弈。
1.对称讨价还价博弈问题
以简单的瓜分100元现金讨价还价问题为例。
①两人分100元的讨价还价问题是对称的,即理论上两人的出价范围均在[0,100]之间。
图7-3 纳什谈判解
②以横、纵轴分别表示两个博弈方得到的效用(此处等于利益),见图7-4。
③同时满足对称性和有效性两个公理的分配。
显然,(50,50)同时满足了公平性与帕累托效率两方面要求,是该种情况下的唯一分配,是双方最能够接受的“合理”分配解。
事实上,所有两人对称的讨价还价问题,都可以用对称性和帕累托效率两个公理进行求解。即使博弈方的效用不等于利益,而是利益的函数ui=u i(si),只要双方的效用函数是相同的(当si=sj时u i=uj)边际效用下降的增函数,都可以用这两个公理进行求解。
然而,在现实生活中的许多种因素都会造成讨价还价双方的处境不对称。对于非对称的讨价还价问题,对称性公理无法直接运用。引起二人讨价还价博弈不对称的原因就是:双方谈判破裂点d的差异,如图7-5所示。我们在第一次介绍公平性、对称性的时候,也提出了可能存在的双方不对等的情况。为此,我们引入第二种情况:非对称讨价还价博弈。
图7-4 双方讨价还价合作博弈解(https://www.daowen.com)
图7-5 两人谈判破裂点示意图
2.非对称讨价还价博弈问题
甲、乙两人关于一个合作项目的谈判:项目预期利润是10 000元,甲单独有2 000元的其他获利机会。该博弈双方的效用函数为(u 1,u 2)=(s1+2 000,s2),其中u 1是甲的效用,u 2是乙的效用,0≤s 1≤10 000,0≤s 2≤10 000分别是甲、乙在10 000元中分到的份额,故有0≤s 1+s2≤10 000。
(1)解决思路
图7-6 谈判破裂点非对称讨价还价博弈问题的解决
将不对称讨价还价问题转化为对称问题,然后间接利用对称性公理加以解决。考虑相对于破裂点的净效用增加u i(s)-ui(d),从而该问题转化成对称二人讨价还价问题。
(2)转化根据
人们在讨论讨价还价问题时关注的一般是效用净增加,谈判破裂点效用通常会被当成已经得到的利益。这样的非对称二人讨价还价博弈问题通过效用净增加ui(s)-ui(d)的引入可以看作对称的讨价还价博弈,这样就可以用第一种情况中提到的对称性公理和帕累托效率公理加以解决。这样解决非对称讨价还价博弈问题可以用图7-6表示。
(3)问题分析
回到甲、乙二人合作谈判的问题,由于谈判破裂点d=(2 000,0),所以双方谈判破裂可得的收益不同导致问题不对称。例如,(12 000,0)属于效用配置集,而(0,12 000)不属于效用配置集。
(4)解决方法
考虑双方的净效用增加(u 1-u 1d,u 2-u 2d)=(s1,s2),那么在净效用增加意义上的讨价还价问题显然是对称的。用对称性公理和效用公理可以得到解为(
)=(5 000,5 000),转换为效用结果的解就是(
)=(7 000,5 000)。
还记得导出纳什解4个基本条件中的不变性定理吗?其实,在非对称的讨价还价场景中,这一定理也有相当的体现。在现实生活中,除了谈判破裂点外,还有许多因素会引起讨价还价问题的不对称性,如博弈方来自物价差异较大的不同地方,同样的收入有不同的购买力,等等。这些因素的影响一般可以用效用函数的仿射变换来表示:
其中,b 1＞0且b 2＞0。
因为这些不对称性是由与讨价还价无关的博弈方自身因素引起的,因此不应该影响讨价还价的分配结果,从而上述变换实际上不会影响到偏好结构。利用线性变换不变性公理,可以把许多非线性讨价还价问题通过线性变化转化为对称问题,根据对称性公理和帕累托效率公理求解以后,再得到原讨价还价问题的解。比如我们即将讨论的这样一种情况:
瓜农和粮农要分100亩(1亩≈666.67 m2)土地,分别种植水果和粮食。种植水果和粮食的利润分别为每亩地800元和500元。
(1)具体问题分析
这个讨价还价问题的效用配置集为(u 1,u 2)=(800s1,500s2),其中0≤si≤100且s1+s2≤100。显然,这个讨价还价问题是不对称的。
(2)问题解决
对效用配置集进行变换:
博弈——平均不是公平
这样根据线性变换不变性公理,类似上述不影响偏好结构的博弈方本身因素引起的非对称问题都可以得到解决。
但是,如果存在由博弈方风险态度和效用偏好引起的偏好结构差异,理论上讨价还价的效用配置集可以很不规则。这时,无法用线性变换将效用配置转变成对称集合,进而无法用线性变换不变性公理解决问题,而是需要用另外一种对称化的方法进行求解,即对称扩展化:增加实际上不会被选择的“无关”分配方案,把非对称的效用配置集扩展成对称的效用配置集,从而用对称性公理和帕累托效率公理进行求解,如图7-8所示。
图7-7 瓜农讨价还价博弈解
图7-8 对称扩展问题和原问题的解
上述对称扩展问题和原问题的求解实际上用到了一个普遍意义的结论,那就是:如果一个具有更大选择范围问题的最优解在其中的一个小范围内,那么这个小范围内的最优解就是大范围内的最优解。是不是觉得似曾相识?在二人讨价还价问题中这个结论可以看作独立于无关选择公理的体现。
利用独立于无关选择公理解决非对称讨价还价问题的关键是,要让扩展问题的解在原问题的效用配置集中。由于扩展问题是对称的,其解一定在对称线与帕累托交点处,因此只有当原问题的效用配置集与扩展问题的效用配置集边界在该点相切才符合要求。但在实际问题中,相切的要求不一定能被满足。对于这种情况,需要结合利用线性变换方法和线性变换不变性公理加以解决。
①先通过线性变换使得原问题变换过的效用配置集,与对称扩展问题的帕累托边界正好在解处相切,从而得到线性变换过的问题的效用配置解(
)。
②利用逆线性变换得到原来效用的解,从而进一步得到分配集合的解。
有了上述一系列处理方法,不管问题是对称的还是非对称的,也无论非对称的原因和情况如何,理论上所有讨价还价的问题都可以得到解决。实际上,基于4个基本公理的二人讨价还价解,早已被纳什总结在其著名的纳什解法中了,因此并不需要根据上述公理去分类讨论、逐步求解。下面介绍纳什讨价还价解法。
3.纳什讨价还价解法
我们在之前已经提到,谈判博弈(bargaining games)由非合作博弈的奠基人纳什在1950年提出,其将非合作博弈的方法用在合作博弈上,得到的结果称为纳什谈判解法。纳什证明,同时满足不变性、有效性、对称性、独立于无关选择4个公理的二人讨价还价解是唯一的:
这个最优化问题的解被称为讨价还价问题的“纳什解”,或者“纳什讨价还价解”,是非线性优化问题的最优化点,其目标函数U*也称为“纳什积”。
因为该纳什积一般是凹函数,效用配置集合一般是凸紧集,因此该最优化问题通常有唯一的解。下面我们给出简单的证明。
证明:
对U 1求导,进一步得到
其中,U′i为保留效用,即博弈的参与者参与博弈的机会成本,也就是不参与该博弈(在该博弈之外)时能够得到的最大期望效用。
注意,利用上面这个式子,在本章最开始提出的二人合作博弈的情境下同样可以得到(0.5,0.5)的均衡结果。
从上述求解结果可以看出,讨价还价双方风险偏好的差异对讨价还价的结果有明显影响。双方所得分配的差异取决于反映风险偏好的系数b,b越小风险规避程度越严重,所得的分配就越少,所得效用更少。如b=0.5,博弈方2所得只为博弈方1的一半。纳什解法的重点在于:
①满足对称性、不变性、有效性和独立于无关选择4个公理,满足公平与效率两方面的要求;
②纳什解优化分析目标函数中的联动效用函数,也就是纳什积,显示了纳什解对双方的利益分配都很重视,不鼓励一味追求自身利益而忽略对方利益等。
说明:虽然早期讨价还价问题的纳什解与后来人们以非合作博弈理论建立的轮流讨价还价博弈解——子博弈完美纳什均衡——在研究范式上有较大区别,但是它们之间也有不可分割的联系。一般来说,非合作博弈理论更具有现实、经济上的特点,而合作博弈理论是公理性的,常常可以用帕累托最优来解释,强调公平和公正,但是同经济理论中的效用最大化思想相差较大。鲁宾斯坦和沃林斯基对纳什的讨价还价博弈模型进行了一些修正:在讨价还价的每个时期结束时,假设存在一个以概率p(p∈(0,1))结束博弈的机会,并且参与人不关心协议达成的时间,而且他们就讨价还价达成一致,所受到的压力不是源于各自的耐心程度,而是来自讨价还价将破裂的风险。当p趋于0时,这个修正后的讨价还价问题的非合作博弈解——子博弈完美纳什均衡,收敛于同样是这个讨价还价问题的合作博弈解——纳什讨价还价解(Nash bargaining solution)。也就是说,设x*(a)和y*(a)是子博弈完美纳什均衡的结果,x*和y*是纳什讨价还价解,那么当p→0时,则x*(a)→x*,y*(a)→y*。这就是纳什讨价还价解与子博弈精炼均衡纳什之间的关系[7]。
