9.4　复杂网络上具有一般群体分布的信息传播

9.4　复杂网络上具有一般群体分布的信息传播

1.摘要

个人总是需要加入某些群体与其他人合作完成一些工作和任务。然而，针对群体规模分布对信息传播动力学的影响尚未做出系统的研究。本节提出了一种在复杂网络上具有一般群体规模分布的信息传播模型。利用广义边渗流理论对最终信息暴发规模和暴发阈值进行探讨。通过大量的数值模拟和理论分析，本节发现群体规模分布越广，最终信息暴发规模越大，暴发阈值越小。理论可以很好地预测数值模拟结果。

2.介绍

研究复杂网络上的信息传播动力学是网络科学和计算机科学领域的热门话题[7，8，53，167]。为了模拟复杂网络上的信息传播，研究人员揭示了一些有趣的传播机制[25]。例如，Centola[26]通过对在线网络上健康行为的信息传播研究揭示了社会的强化性[94，109，168，169]。最近，Vosoughi等人[170]分析了Twitter上的信息传输，发现虚假消息比真实消息传播得更快、更深入。借助这些发现的传播机制，研究人员提出了一些成功的模型来描述信息传播动力学[41，171-175]。与同质网络上的传播动力学不同，由于网络中存在部分集线器的缘故，强大的异质度分布会使信息暴发阈值消失[2，126]。Payne等人发现最终信息暴发的规模随着度-度相关性的增加而不断增加[176]。人类动力学记忆的和暴发[177-179]能够明显地改变传播动力学，例如传播速度，最终暴发规模和暴发阈值[180-183]。Gao等人提出了一些促进信息传播的策略[101，184]，并研究了个人知名度在信息传播中的作用[185]。

实际上，个人总是会加入一些群体与其他人合作完成某些工作或任务。因此，应该对复杂网络上信息传播动力学的理解重新定义。Wang等人[186]发现群体不能改变相互依存网络中的渗透转变类型，并且渗透转变总是一阶的。最近，Wang等人[187]又提出了一种在复杂网络上具有相同群体规模的信息传播动力学。通过广义边渗流理论，他们发现这些群体诱导了多重转变的出现。但是，在微信和Skype中，群体的大小并不总是相同。在此假设群体规模遵循某些分布，例如正态分布和幂律分布。通过理论分析和大量的数值模拟，会发现在同质和异质复杂网络中，群体规模分布的宽度明显地改变了最终信息的暴发规模和暴发阈值。

接下来，文中首先介绍信息传播模型，然后针对此模型开发了边渗流理论，并进行数值模拟以验证该理论的正确性，在本节的最后得出结论。

3.模型描述

本节假设信息在社交网络上传播，其中节点代表个人，边描述节点之间的关系。为了简单且不失一般性，本节假设网络A 遵循度分布为PA（k），规模为N。实际上，个人总是会与群体配合来完成某些任务，并且群体的规模值会有所不同。因此，根据给定的群体规模分布f（m）将网络A 中的所有节点随机划分成非重叠（无共享节点）组。同一组中的所有节点间彼此相互连接，构成一个完整的图，即一个集团。这些群体构建了一个新的网络。在网络中，一个节点代表一个组（或称为超级节点），也就是说每个超级节点都包含一些普通节点。此外，只要两个正常节点在两组中相互连接，它们之间就会有一条边。

为了描述群体社交网络上的信息传播动力学，文中采用了易感态-感染态-恢复态（SIR）模型。使用同步更新方法来更新节点的状态。最初，来自网络中被感染的节点是随机选择的。在每一步中，每个受感染态的节点都尝试以概率λ将感染态传播给每个易感态邻居，并且永久恢复的概率为δ=1.0。如果群组∑中的易受感染节点i被邻居感染，则∑群组中的所有节点将同时被感染。换句话说，同一组中所有节点的状态都相互依赖。

4.理论分析

从理论上讲，假设网络很大、稀疏且像本地树一样。先前的研究表明可以将最终信息暴发规模PA和暴发阈值λC映射为求解边渗流的巨型连接簇（GCC）上，并且边占有概率为λ[44，188，189]。因此，接下来将重点研究网络A 的GCC。

为了获得网络A 的GCC，首先要获得网络的GCC。然后把一个群看成网络中的一个超级节点。只有当两个组的成员之间至少有一条边时，两个超级节点i和j 才连接。在网络中，节点数表示为。受参考文献[186，187]的启发，网络A 和网络中的节点数存在以下关系

这里M 时最大群体的规模，＜m＞是平均群体规模＜m＞=∑f（m）m。

在网络A，其度分布的生成函数是

由于网络是从网络A 聚合而来，因此本节使用生成函数来计算网络的度分布对于从网络A 中随机选择m 个节点的一个超级节点，网络的概率分布生成公式：

将t表示为随机选择的边的概率，这条边不属于连接到网络的GCC分支。如果边没有被占用，它就不会以1-λ的概率连接到GCC上。如果边被占用了，当且仅当其连接节点不属于GCC的概率为λ时，才不属于该分支。因此t满足如下自洽方程

式中，是网络的超额度分布的生成函数，是网络的平均度。度为的节点A 在网络中以的概率连接到GCC上。因此网络的GCC中节点的分数由下列公式获得

信息暴发阈值由式（9-4-6）计算得：

式中，是网络度分布的第一和第二阶时刻。

由于在网络中，随机选择的节点包含m≥1个正常节点的概率为f（m）。因此，在网络的GCC 中节点部分与网络A 中的节点部分不同。将网络中的超级节点映射到网络A 中的正常节点。超级节点以的概率连接到GCC，其中m）是一个度为超级节点的条件概率，它的规模为m。因此网络A 的GCC可以写成：

网络A 中GCC节点的分数由下式计算得出：

(https://www.daowen.com)

受参考文献[31]的启发，定义

将得到

把式（9-4-10）代入公式（9-4-8）可得

5.数值模拟与结果分析

在本节中，对具有不同群分布f（m）的人工网络进行了大量的数值模拟。为了研究群分布f（m）的宽度对信息传播动力学的影响，本节采用了两种不同类型的群体分布。具体地说，本节将f（m）设为正态分布

和幂律分布：

在正态分布中，平均群规模被设置为μ，方差为σ。很明显较大的σ值具有更广的群体分布。在幂律分布的情况下，指数较小的γ 值意味着群分布越广泛。设置M=200并且在固定网络上至少执行103次独立动态实现去计算相关的平均值。

为了直接研究群分布宽度对信息传播的影响，假设网络A 是齐次的ER 网络，即平均度为＜k＞=10。如图9-20中（a）和图9-20（b）所示，发现群分布越广，最终信息暴发规模PA越大，可以解释如下现象：

σ值越大，群规模越分散，大的群体越容易出现。一旦大群体中的节点被告知，所有节点都会收到信息。因此，如果信息传输概率值较小，将有许多节点被通知。此外，发现信息暴发阈值随着群分布宽度的生长而降低。为了确定暴发阈值的数值信息，这里采用了可变性[5，190]，Δ可以表示为

其中＜…＞是集合的平均值。可变性是研究复杂网络上传播动力学的重要内容[190]。根据以往的研究，临界点有一个峰值。如图9-20（c）和图9-20（d）所示，通过调研Δ 确定计算暴发阈值。发现本节的理论可以很好地预测最终的暴发规模和暴发阈值。

图9-20　信息在群规模为正态分布的ER 网络上传播图示。最终信息规模PA与信息传输概率λ的关系，平均群规模为μ=5（a）和μ=10（b）的概率λ。可变性Δ 代表μ=5（c）和μ=10（d）的λ函数。在图（a）和（b）中Δ 符号是数值模拟的结果，直线是理论预值。在（c）和（d）中，线是数值模拟结果。其他参数设置为和δ=1.0

在图9-21中，进一步研究了群规模分布对信息传播的影响。具体来说，群体规模分布设为f（m）～m-γ。与图9-20中发现的现象类似，群分布的范围广泛使PA值变得更大。同样，本节的理论与数值模拟吻合得很好。

本节进一步地研究了SF 网络上具有幂律度分布的信息传播动力学，即PA（k）～k-γD。度指数γD 设为2.7。使用参考文献[122]中的方法建立不相关配置网络。如图9-22 和图9-23所示，揭示了群分布越广，最终信息暴发规模越大，暴发阈值较小。该理论能很好地预测数值模拟的结果。

图9-21　在ER 网络上，群规模具有幂律分布的信息传输概率λ与最终信息规模PA的关系图。设置幂律分布的参数γ=2（蓝色圆圈），γ=5（红色倒三角形），这些线是根据等式（11）的理论预测值。符号是数值模拟。其他参数设置为N=10000，＜k＞=10和δ=1.0

图9-22　在SF网络中，当μ=5（a）和μ=10（b）时，信息传输概率λ与最终信息规模PA的关系图。（a）和（b）中的线是根据式（9-4-11）的理论预测值，符号是数值模拟。其他参数设置为N=10000，＜k＞=10和δ=1.0

6.结论

在本节中，系统地研究了复杂网络上具有一般群规模分布的信息传播动力学。传播模型是具有正态分布和无标度群规模分布的ER 和SF两种人工网络。通过大量的数值模拟，发现群规模分布的宽度明显地影响最终信息暴发规模和暴发阈值。具体而言，最终信息暴发规模随群规模分布宽度的增加而增加，而暴发阈值随群规模分布的宽度而减小。本节提出了一种边渗流理论来定量地研究最终暴发规模和暴发阈值，并与数值模拟取得了很好的一致性。结果可能为研究其他动力学（例如级联[156，191]、社会传染病[94，192]和流行病传播[22，127]提供更好的借鉴。

图9-23　在SF网络中，群规模具有幂律分布的信息传输概率λ与最终信息规模PA的关系。设置幂律分布的参数γ=2（蓝色圆圈），γ=5（红色倒三角形），这些线是根据等式（11）的理论预测值。符号是数值模拟。其他参数设置为N=10000，＜k＞=10和δ=1.0