10.1　边缘重叠的双刃剑效应对不对称相互作用的扩散动力学的影响

10.1　边缘重叠的双刃剑效应对不对称相互作用的扩散动力学的影响

1.摘要

在接触网络上传播的疾病与在通信网络上传播的相应信息之间存在密切的交互。特别地，当通信网络和接触网络的拓扑连边之间存在一定的重叠时，研究将十分有意义。本节分析了层间连边重叠对疾病和信息的非对称交互传播动力学的影响，主要包括受感染节点的最终比例和流行病暴发阈值。进行了广泛的仿真后，发现存在所谓的双刃剑效应对流行病传播和信息传播的影响。即，当疾病的传播速度快于信息传播时，较少的重叠连边能够有效地抑制流行病的传播。相反，当信息传播的速度快于疾病传播的速度时，重叠连边越多，则疫情传播受到的抑制就越强。进一步地，研究发现当重叠连边增加时，疾病传播阈值得到改善。这些结果可为制定抑制流行病传播的最佳策略提供重要指导。

2.介绍

疾病传播[2，22，193-197]和信息传播[198-201]是复杂网络上的两个重要的动力学过程。这两个过程之间的交互越来越受到各学科学者的关注。

Funk等人[29，30，202，203]提出了一种在完全混合人群中基于信息感知的新型流行病模型。他们发现，在流行病传播过程中有效考虑信息感知后，感染率会降低。当信息感知能力强时，流行病传播的难度就会增加。Sahneh等人[204]向经典的SIS（易感性-感染态-易感性）模型引入新的状态。他们认为，当个体在通信层上获得有关疾病的信息时，将进行免疫以保护自己。Ruan等人[205]使用SIR（易感-感染-恢复）模型研究信息驱动免疫，发现当信息在网络上充分传播时，流行病的传播会受到有效限制。

实际上，流行病传播和信息传播会在具有不同拓扑结构的网络上发生交互。例如，个体通过诸如Facebook、Twitter等通信网络将有关疾病的信息传播给朋友，而疾病则通过物理接触网络从受感染的个体传播到易感的邻居。为了研究流行病传播与信息传播之间的紧密交互[20，206-208]，基于复合网络构建了大量的耦合动力学模型，并在复合网络上，两种类型的动力学交互地发生在各个层上[19，20，31，32，94，130，209-214]。特别地参考[45]发现，在疾病传播的动力学与复合网络上的信息传播的动力学之间的非对称交互中，接触层上的流行病暴发会引起通信层上信息传播的暴发，并且信息传播可有效地提高流行病阈值。当两层之间存在结构相关性时，信息阈值保持不变，但可以提高流行病暴发阈值，从而使得流行病在接触层上更难以暴发。

大体来说，疾病可以促进信息传播。即，随着更多个体被疾病感染，更多人将获得疾病信息并且这种信息将传播得更广泛。反过来，随着更多的人在获得信息后进行免疫，可以抑制疾病传播。因此，近年来关于疾病和信息的非对称交互传播动力学的研究吸引了越来越多的研究者[19，20，31，45，209]。在这种非对称的交互过程中，感知者采取的免疫行为会显著影响流行病传播的动态[205，215，216]。例如，Zhang等人[216]基于本地感染信息，研究感知者的行为方式如何影响流行病传播的动态。他们发现，在SIR 和SIS模型中，感知人士的行为反应都可以有效提高流行病暴发阈值。

尽管已经进行了许多研究来了解流行病传播与复合网络上信息传播之间的紧密交互，但大多数研究都忽略了网络结构在疾病与信息传播中的交互。在网络结构特征中，连边重叠是复合网络的重要且普遍存在的特征[217]。例如，人们使用Facebook或Twitter上的在线虚拟社交关系进行相互交流，同时，他们在现实生活中也彼此进行身体接触。这种个人在通信网络和物理接触网络中的连边会相互重叠。Chen等人最近完成的一项工作[93]研究了连边重叠的复合网络上社会支持和流行病传播的交互。结果表明，社会层和接触层之间的连边重叠会显着影响社会支持与流行病传播的交互。本节研究了通信层和接触层之间的连边重叠对信息和疾病传播的非对称交互过程的影响。发现连边重叠对这种流行病传播和信息传播的耦合动力学具有双刃剑效应。更具体地，当信息比疾病传播更快时，需要加强连边重叠性来有效地抑制流行病传播。但是，当疾病传播的速度快于信息传播的速度时，较少的重叠连边可以抑制流行病的扩散。

3.模型描述

为了清楚地显示研究结果，本节首先描述双层复合网络的模型，然后详细描述复合网络上的传播动力学。

1）通信-接触式双层复合网络模型

为了构建通信-接触双层复合网络，引入两个子网A=（V，EA）和B=（V，EB），分别表示通信网络（A 层）和接触网络（B层）。其中EA和EB代表两层中的边集，V 代表节点集。一层中的每个节点在另一层中都有一个对应对象，并且耦合的节点实际上表示同一个人。网络规模表示为不同层中节点数表示每层中的邻居数。因此，将两层的平均度定义为为了建立一个具有Q 比例重叠边的双层复合网络，采取以下步骤。

（1）首先，利用不相关结构模型（UCM）[93]生成两个具有相同网络结构和网络大小为N且度分布为PA（kA）≡PB（kB）的网络。

（2）接下来，以1-Q 的概率随机重建层中连边。因此，层A 中的剩余Q 比例连边与层B中的连边重叠。

（3）在重建过程中，与原始网络形成对比，查看重建连边以确保更改。

2）重叠复合网络上的交互传播动力学

本节认为疾病通过物理接触在B层传播，而疾病所驱动的信息通过社交通信在A 层传播。为了对信息传播进行建模，采用了改进的SIR（未知-感知-放弃）模型[171]。该模型中的每个节点都可以处于以下三种状态之一。

（1）未知状态（S），处于这种状态的节点尚未收到有关该疾病的任何信息，并且不会将信息传播给其邻居。

（2）感知状态（I），处于这种状态的节点已经接收到至少一条消息，并且可以将其发送给邻居。

（3）放弃状态（R），处于此状态的节点已接收到消息，但拒绝将其发送给邻居。B 层的疾病可以通过SIRV（易感-感染-恢复-免疫）模型来表示[175]。B层中的节点可以处于易感状态（S），感染状态（I），恢复状态（R）或免疫状态（V）。请注意，处于已免疫状态的节点表示它们在收到消息后已进行了免疫，不会被感染。流行病传播与信息传播之间的非对称交互可以描述如下。

①最初，选择B层中的一个节点使其处于受感染状态（种子），同时，将其与A 层中的对等节点变成感知状态。然后，A 和B层中的其余节点都处于S状态。

②疾病和信息在任何时间t都在两层同步传播。疾病以速率βB 在每对I状态和S状态节点之间传播。一旦感染了B 层中的S 状态节点，A 层中的相应节点就会进入感知状态。

③A 层中的信息以速率βA在每对S状态节点和I状态节点之间传播。如果通知了A层中处于未知状态的节点，而B层中的对等节点也处于S状态，则它们将以概率p 进入免疫状态。

④两层中的感知节点和受感染节点分别以γA和γB的速率进入放弃和恢复状态。当系统中没有受感染节点时，传播进程终止。

4.数值模拟与结果分析

为了研究连边重叠对流行病传播和信息传播间非对称交互的影响，基于ER 模型构建了一个双层复合网络[218]，具有相同度分布为网络中的两层具有相同的网络大小NA=NB=10000，以及平均度＜kA＞=＜kB＞=10。两层之间的连边重叠度为Q。此外，将SA（t）、IA（t）、RA（t）表示通信层中未知节S态，感知I态以及放弃R态节点的一部分，SB（t）、IB（t）、RB（t）和VB（t）表示接触网络中易感S状态，感染I状态，恢复R 状态和免疫V 状态节点的一部分。不失一般性，将免疫概率设置为p=1。每个仿真在30个网络上各运行2×103次。最终获得了所有重复仿真的平均结果。为了确定流行病暴发阈值，使用相对波动方差χB进行测量[5，96]

式中，＜…＞表示集合平均。如果存在，χB的值将在过渡点处显示峰值。将βBc表示为流行病暴发阈值。

图10-1在子图（a）显示最终感知节点比例RA，在子图（b）显示最终感染节点RB，并在子图（c）显示最终免疫节点比例VB与疾病传播率βB的关系。在图10-1中，连边重叠度Q=0.2对应红色实线和Q=0.8对应蓝色虚线。信息传播速率固定为βA=0.5。分析发现，当βB小于某个值时，相比于Q=0.8，当Q=0.2时，信息和疾病都具有较大的传播规模。当βB足够大时，Q=0.8的信息（RA）和疾病（RB）传播规模都大于Q=0.2时的传播规模。因此，在信息和疾病的非对称交互动力学过程中，存在连边重叠的所谓双刃剑效应。图10-1（b）分别画出当Q=0.2（红色实线）和Q=0.8（蓝色虚线）时，相对波动方差值χB与βB 的函数关系，峰值表示流行病暴发阈值βBc。图10-1（c）进一步验证双刃剑现象。根据图10-1（c）中免疫比例VB与βB 的关系图，发现与RA和RB相比，当βB 相对较小时，Q=0.8时的免疫比例大于Q=0.2时的结果。而当βB足够大时相反。(https://www.daowen.com)

复合网络两层之间的连边重叠不仅对免疫规模的大小和疾病传播的最终比例有影响，而且对信息的传播范围也有重大影响，如图10-1（a）和（c）所示。为了清楚地描述连边重叠对疾病传播和信息传播耦合动力学的影响，绘制了RA[ΔRA图10-1（d）]，RB[ΔRB图10-1（e）]和VB[ΔVB图10-1（f）]的值在Q=0.2和0.8时与βB的函数关系。显然，当βB相对较小时，在图10-1（d）和（e）红色区域（标记为区域Ⅱ）的Q=0.2的RA和RB值较大。而在图10-1（d）和（e）蓝色区域（用区域Ⅰ标记）中当βB较大时，则相反。在图10-1（f）中蓝色区域表示当βB较小时，Q=0.8的VB更大，当βB较大时Q=0.2的VB的更大。

图10-1　连边重叠对双层复合网络上耦合动力学过程的影响示例图。（a）信息节点RA的比例与A 层中βB的关系。（b）感染节点RB的比例与B层中βB的关系。（c）比例层B中免疫的节点VB的数量与β的关系。图中的红色线和蓝色虚线分别代表Q=0.2和Q=0.8时的结果。将层A 中的传播速率设置为βA=0.5。（b）磁化率度量在Q=0.2和Q=0.8时作为βB的函数

基于图10-1中显示的结果，推测双刃剑效应由免疫通过重叠和非重叠连边引起。接下来，使用图10-2中的草图来解释这两种类型的连边。为了区分重叠连边和非重叠连边的免疫差异，定义了局部免疫和全局免疫。感知节点1将信息传递给层A 中的节点2。请注意，B层中节点1的对应节点可以处于从易受感染到已恢复的任何状态，将其设置为易受影响状态。图10-2（a）举例说明了局部免疫，因为从A 层中节点1到节点2的传播路径与B层中节点对之间的连边重叠。通过重叠连边发生的这种类型的免疫定义为局部免疫。而在图10-2（b）中，在A 层的节点1和节点2之间有一条边，但在B层中不存在。通过非重叠连边发生的这种免疫被定义为全局免疫。

为了解释基本机制，在通信层中，比较了通过重叠和非重叠连边通知的免疫节点的比例。变量vI表示为受感染节点周围的局部免疫节点和全局免疫节点的比例，即vI=表示分别通过处于受感染状态的节点周围的重叠连边和非重叠连边来通知已免疫的节点。图10-3显示了当βB=0.45和βB=0.9时接触层I态节点周围vI的时间演化。注意，信息的传播速率设置为βB=0.5。时间在图中按t/tend缩放，其中tend是传播结束的时间。

图10-2　不同免疫策略示例图。（a）双层复合网络上的局部免疫图。在A 层和B层中的节点1和节点2之间存在重叠连边。（b）双层复合网络上的全局免疫图。A 层和B层中的节点1和节点2之间没有重叠的连边。红色虚线代表两层中节点之间的层间依赖性，黑线表示每一层中的连边。在子图（a）和（b）中，节点1可以处于任何状态，包括易感、受感染、已恢复和已免疫。这里为了示例将节点1设为易感态

图10-3　通过双ER 复合网络上重叠和非重叠连边通知的免疫节点比例时间演化示例图。当βB=0.45和βB=0.9时，vI在接触层感染节点周围的时间演化。符号vI表示局部节点中已感染节点周围的全局已免疫节点中所免疫的比例

总体而言，发现当连边重叠程度（即Q=0.8）高于程度较低的连边重叠（即0.2）时，感染节点周围的局部免疫邻居所占比例较大。相反，当Q=0.2时，全局免疫邻居的比例更大。此外，由于信息传播促进了接触层中的免疫，因此，如图10-3所示，与βB=0.9相比，当βB=0.45＜βA=0.5时，免疫节点的值更大。

当βB＜βA 时，信息传播速度要快于疾病传播速度。在这种情况下，通信层和接触层之间的连边重叠程度越高，意味着两层中的感知节点和受感染节点的公共邻居越多。因此，信息可以通过重叠连边迅速扩散到其公共邻居。将会有大量局部免疫节点，导致连边重叠程度更高。这些免疫的邻居可以切断疾病的传播途径。如图10-3所示，当Q=0.8时，与Q=0.2（红色方块）相比，局部免疫的邻居（红色圆圈）所占比例更大。上述分析也可以解释当βB＜βA时感染节点比例变小的原因，如图10-1（b）和（e）所示。此外，感染节点的比例值越小，意味着通信层中的感知节点的数量越少[请参见图10-1（a）和（d）]。

相反，当βB＞βA（即βB=0.9）时，疾病的传播快于信息传播。为了防止疾病传播，易感节点需要更多信息进行免疫。在这种情况下，较高的连边重叠度将不利于信息的传播，因为常见的易感邻居在获得信息之前已被感染。相反，较低程度的连边重叠将促进信息扩散，因为它们可以将信息全局扩散到更易感的节点。如图10-3所示，对于Q=0.2（蓝色三角形）和Q=0.8（蓝色菱形）的局部免疫的注释vI的比例，当β=0.9的结果要低于β=0.45的结果时，这表明当βB＞βA时，更多信息通过通信层中的不重叠连边传播。所以，当βB＞βA时，当Q=0.2时，免疫节点比0.8时多，感染节点比例少，如图10-1（a）和（d）所示。因此，对上述段落中的双刃剑效应给出了定性解释。

为了清楚地显示连边重叠对双层复合网络上非对称交互扩散动力学的双刃剑效应，在图10-4（a）和（b）中，进一步绘制了Q=0.2和Q=0.8之间的感染大小ΔRB和免疫大小ΔVB的差值，作为信息传播率βA的函数。这里将ΔRB表示为ΔRB=RB（0.8）-RB（0.2），将ΔVB表示为ΔVB=VB（0.8）-VB（0.2），其中RB（x）和VB（x）代表Q=x 时RB和VB的值。疾病传播率设定为βB=0.5。如图10-4（a）所示，当信息传播比疾病传播更慢时（βA＜βB），较大程度的连边重叠表示两层中感知节点和受感染节点更常见，这降低了免疫节点的数量，如图10-4（b）中红色区域。因此，网络中有更多受感染的节点，如图10-4（a）中蓝色区域。相反，当βA＞βB 时，信息传播速度快于疾病传播速度，较大程度的连边重叠（即Q=0.8）可以导致受感染节点邻居更多免疫，如图10-4（b）蓝色区域所示，这切断了疾病的传播途径。因此，当Q=0.8 时，受感染的节点将少于Q=0.2 的情况，如图10-4（a）中的红色区域。

图10-4　连边重叠的双刃剑效应对双ER 复合网络上非对称交互的扩散动力学的影响图。（a）Q=0.2和Q=0.8之间的感染大小ΔRB的差值作为βA 的函数。（b）Q=0.2和Q=0.8之间的免疫量ΔVB的差值作为βA 的函数

接下来，通过研究Q=0.8和Q=0.2之间最终感染节点之间的差异ΔRB对βA和βB的依赖性，系统地研究连边重叠对非对称交互的扩散动力学的影响。如图10-5所示，颜色表示ΔRB的值。白色圆圈将参数空间分为两个区域。在区域I，疾病传播速度快于信息传播速度。因此，两层之间的重叠连边越少，可以更好地抑制的疾病。因此，当Q=0.8时，感染的节点比例要高于Q=0.2。在区域II中，信息传播比疾病传播快。如上所述，两层之间的重叠连边可以有效地抑制疾病传播。因此，当Q=0.8时，受感染节点比例比Q=0.2时低。

图10-6展示了当βB=0.45和0.9时，最终感染规模RB和免疫规模VB与Q 呈函数关系。信息传播速率设置为βA=0.5。发现，当βB＞βA时，随着VB的降低，最终感染规模RB随Q 单调增加[见图10-6（a）和（b）蓝色区域]，但当βB＜βA 时，随着VB的降低，最终感染规模RB随Q 单调减少[见图10-6（a）和（b）中红色圆圈]。

图10-5　ΔRB对βA 和βB 的依赖性图示。颜色代表ΔRB的值，白色圆圈将参数空间分为两个区域。区域Ⅰ中较低的连边重叠程度可以抑制疾病的传播，而区域Ⅰ中较大的连边重叠程度则可以促进疾病的传播。在区域Ⅱ中，较高程度的连边重叠可以防止疾病扩散。用白色圆圈标记零值来表示边界线

图10-6　感染大小RB（a）和免疫大小VB（b）作为连边重叠度Q 的函数的图示。蓝色正方形和红色圆圈分别表示βB=0.9和βB=0.45

最后，研究了流行病暴发阈值对βA 和连边重叠Q 的依赖性。如图10-7所示，在Q 的每个固定值处都随着βA的增加而增加，因为信息抑制了疾病的传播。特别地，如图10-7所示，当βA 固定时，当Q 从0增加到1时，增加，这是因为当βB＜βA 时，连边重叠时抑制了疾病的传播。因此，在疾病暴发之前，较大程度的连边重叠使疾病更难暴发，因为更多的连边重叠意味着感染节点的更多免疫的邻居，这些邻居包括受感染的节点，因此在早期就切断了疾病的传播途径疾病传播。

5.结论

疾病传播和信息传播是复杂网络上的两个基本动力过程。在现实世界中，这两个过程并非相互隔离，它们之间的非对称交互已经吸引了来自不同学科研究人员越来越多的关注。个体的连边重叠是现实生活中最常见的特征之一。例如，两个人可以在虚拟社交层中成为朋友，在物理接触层中成为同事。在这里，考虑这种简化但重要的因素，即通信-接触双层复合网络的连边重叠，以探索这种因素如何影响疾病传播和信息传播的耦合动力学。

通过广泛的仿真，发现连边重叠对疾病传播和信息传播之间的非对称交互具有双刃剑效应。具体而言，当信息传播速度快于疾病传播时，两层之间的连边重叠可以帮助抑制疾病传播。由于有关疾病的信息可以在早期阶段通过重叠的连边快速传播到受感染节点的易感邻居，因此这些感知的节点将在感染之前进行免疫。然后，被感染的节点被免疫的邻居所包围，并且疾病的传播路径被切断。相反，当疾病传播快于信息传播时，较小的连边重叠可帮助抑制疾病在接触层中的传播。由于接触层中的受感染节点可以在它们通过重叠连边获取信息并进行免疫之前迅速感染其易感邻居。为了进行免疫，易感节点需要来自非重叠连边的更多信息。在这种情况下，需要较小的连边重叠以抑制疾病扩散。同时，还发现，当连边重叠率Q 固定时，流行病暴发阈值随着信息传播率βA的增加而增加。此外，当βA固定，随着连边重叠Q 的比例增加而增加。

图10-7　对于各种连边重叠Q，流行病暴发阈值作为βA的函数示例图。

上述的研究结果对研究其他动力学的传播动力学具有一定的指导意义，并对如何描述复合网络上的协同进化动力学以及如何理解网络结构对流行病传播的影响等新的研究具有一定的启发意义。