10.6　在具有异质人群的多层网络上协同传染病传播

10.6　在具有异质人群的多层网络上协同传染病传播

1.摘要

联合传播动力学引起了网络科学界的广泛关注。本节研究了具有异质种群的多重网络上的协同传染病传播动力学，其中，异质种群引起了异质的共易感性。首先，本节提出了一个扩展模型来描述演化机制。为了预测疫情的最终暴发规模，本节提出了广义边渗透理论。通过数值模拟和理论分析可以发现，当共易感性分布具有较大的均值和较小的方差时，在ER-ER 多重网络中，系统会呈现不连续的相变，而在SF-SF 网络中，该相变始终是连续的。此外，发病规模随着共易感性的均值增加而增大，随着共易感性的方差增大而减小。本节提出的边渗透理论可以很好地预测数值模拟结果。

2.介绍

传播动力学的共同进化广泛地存在于生物系统和社会系统中[39]。根据两种传播动力学之间的相互作用机制，可将协同进化传播动力学分为竞争、不对称和合作三种类型。在一些情形下，一旦感染一种流行病，寄主可被杀死或获得永久免疫，这样它就不会被其他流行病感染[335，336]，此时，两种流行病就是在与宿主竞争。如果某种传染病正在接触网络上传播，那么有关该种流行病的信息可以在社交网络上传播。当疫情暴发时，获得疫情信息的易感人群会采取一些措施保护自己不受感染，因此，疾病的传播受到了明显的抑制[30，337]这就是不对称传播动力学。合作机制则描述了一种现象，即一个人感染艾滋病毒/艾滋病后，被系统性红斑狼疮（SLE）感染的概率增加[338-341]。

为了描述共同进化的传播动力学，研究者们提出了一些新的模型，并揭示了一些有趣的结果，特别是从物理科学的角度。对于两种相互竞争的流行病，Newman等人发现存在一个共存阈值，这个阈值大于单一流行病的传播[189]。关于不对称的传播动力学，Wang等人[45，323]发现疫情与信息传播之间存在着不对称的相互作用。他们提出易感-感染-康复——易感-感染-康复-免疫（SIR-SIRV）动态模型，描述和揭示了流行病的阈值取决于系统的网络拓扑结构和动力学参数。而Granell等人[31，32]使用了一个无意识-有意识-无意识——易感-感染-易感模型（UAU-SIS），通过使用马尔可夫链方法，他们揭示了存在着一个由意识传播和网络拓扑结构定义的超临界节点。两种传染病的协同传播可能诱发不连续的相变，这取决于拓扑结构和协同强度[342-345]。崔等人[346]在无标度网络上研究了两种协同的流行病，发现不连续相变的出现取决于度分布的度指数，这是由异质平均分布理论所证实的。最近，崔等人[347]揭示了网络的聚类和初始种子改变了两种流行病的最终暴发规模。为了解释两种流行病的传播渠道，Wang等人[348]假设在多路网络上有两种协作流行病，每种流行病在各自的网络上传播。利用广义边渗透理论，他们计算了两种流行病的最终暴发规模，发现通过改变合作效应的强度，系统的相变从连续变为不连续。

事实上，个体总是表现出很强的异质性，包括他们的健康状况、教育程度和健康知识[26，349，350]，异质性表明不同个体表现出不同的特征。群体的强异质性可能导致共易感性的异质性，这意味着个体同时感染两种流行病的概率取决于他们的特质。先前关于异质群体在单一传播动力学上的研究已经表明了最终的暴发规模、传播速度和增长模式[303，351-354]。对于单一的传播动力学，Cui等人[351]发现异质的等待时间在初期加速了扩散，在后期减缓了扩散。据我们所知，目前还缺乏关于多重网络上异质共易感性人群的系统研究。在本节中，首先提出了一个考虑异质共易感性的协同传染病传播模型。然后，推导出广义边渗透理论来描述动力学的最终状态。最后，使用数值方法研究了多层网络中节点的异质共感染概率。

3.模型描述

在本节中，将介绍多层网络上的共感染传播动力学。关于多层传输网络，在这里考虑双层网络，分别标记为A 和B，尺寸对应为NA=NB=N，网络A 和B 的度分布分别是PA（kA），PB（kB）。运用不相关方差模型[38]，分别利用网络的度来建立网络A 和网络B。两层中的每个节点都是一对一随机匹配的，两个匹配的节点代表不同网络的同一个人。在这种情况下，系统中没有层间和层内的度相关性。为了引入异质群体，本节给每对节点分配一个固有的共易感性，它表示一个节点同时被两种流行病感染的概率。“同时”指的是该节点感染了两种流行病，共易感性是指该节点是否存在共同感染机制。在本节的模型中，假设每对节点的共易感性与其特征相关。为简单起见，假设共易感性取决于度。也就是说，如果两对节点有相同的度（kA，kB），那么就有相同的共易感性c。如果一对节点同时被两种流行病感染，即具有共易感性，当一个节点被一种流行病感染的概率为p，则另一个节点被另一种疾病感染的概率为q。一般认为，共易感性遵循一个分布ψ（kA，kB，c）。在仿真中，对每个节点的共易感性分配如下：

（1）根据节点的度（kA，kB），对所有节点进行分类。共有种节点，其中和分别代表网络A 和网络B的最大度。

（2）根据分布ψ′（c），给每种类型的节点分配共易感性。因为每个类型的节点有不同的节点数量，我们知道ψ（kA，kB，c）和ψ′（c）是两个不同分布。在理论上，给定ψ′（c），可以得到ψ（kA，kB，c）的统计值。节点的c值越大，同时被两种流行病感染的概率就越高。

疾病da（db）在网络A（B）上的传播遵循SIR 模型[8]。在任何时候，网络A（B）上的每个节点都可以处于易感（S）、感染（I）和恢复（R）三种状态中的一种。在易感状态下，一个节点是易感节点，没有被任何疾病感染。在感染状态下，节点被疾病xε{da，db}感染，并能在网络X∈{A，B}中将疾病传播给它的邻居。恢复状态表示节点已从疾病中恢复，不会再次受到感染。对于共同感染的传染病传播，节点的感染状态可分为三种：仅感染da流行病（记为Ia）、仅感染db流行病（记为Ib）、同时感染da，db（记为Iab）。同样地，处于恢复状态的节点还有三种类型，分别为从流行病da中恢复（记作Ra）、从流行病db中恢复（记作Rb）、从流行病da和db中恢复（记作Rab）。

两种流行病的演变如下。首先，在网络A 和网络B 中，分别为流行病da和db随机选择一个种子节点。对于未被任何流行病感染的易感节点，其被网络A（B 网络）中的流行病da（流行病db）感染的概率为p 是单位感染概率，na（nb）是在网络A（B）上，该节点的被感染的邻居数量。如果一个节点i在一个网络中感染两种疾病的一种，则应该考虑它的共易感性。如果节点i具有共易感性，它感染其他流行病的概率为1-其中nx为网络X∈{A，B}中，感染疾病dxε{da，db}的节点数量。每个感染节点以概率γ恢复。当两个网络中没有节点处于感染状态时，动力学演变终止。

4.理论分析

由于SIR 传播可以映射到边的渗透过程，在本节中，推广了经典的边渗透理论来分析异质群体的共同感染流行病传播。下面首先将网络A 和网络B的度分布的生成函数写成：

在网络A 和网络B上，节点的联合度分布为P（kA，kB），这意味着一个节点在网络A 和网络B的度分别是kA和kB的概率。同样地，P（kA，kB）的生成函数是：

为了同时求解流行病da和db的总体暴发规模，可以将其映射到解决复用网络的边渗透的巨型连接集群（GCC）[7，348]。具体来说，两种流行病的总体暴发规模可以分别看成网络A 和网络B的GCC。由文献[348]得到灵感，将xA定义为一个随机选择的边连接到感染疾病da的节点的概率，即网络A 中一个随机选择的边在网络A 的一端连接到GCC。同样地，在网络B中定义了xB。这里取流行病da作为例子来计算最终的暴发规模，随机在网络A 中选择一个链路l，并连接到在网络A 的一端的一个度为kA的节点。如果节点i连接到了网络A 中的GCC，它要么只感染流行病da，要么感染da和db两种流行病。因此，以下四种情况中的一种应该被满足。①节点i先感染流行病da，再被流行病db感染。②节点i先被流行病db感染，再被流行病da感染。③两种流行病在i的网络上独立地感染i。④节点i仅感染流行病da。接下来，计算上述四种情况的概率。

情形①的概率是是节点i的kA-1条边中至少有一条连接到网络A 的GCC 的概率，是节点b的kB条边中至少有一条连接到网络B的GCC的概率，s是先感染疾病da然后感染流行病db的概率。值得注意的是，s与网络结构、疾病传播率等因素有关。在数值模拟中，将网络A 和网络B 设置为相同的平均度，并设置两个传播率相同的流行病。因此，在理论上设置s为0.5。如果网络A 和网络B的平均度不同，应该引入网络结构对两种疾病协同传播的影响。用类似的方法，得到情形②的概率等于情形③发生的概率是情形④发生的概率是结合以上四种情况，分别得到网络A 和网络B中c的分布情况，以及边连接度为kA和kB的节点的概率，有：

使用同样的方法，可以得到网络B中的xB：

(https://www.daowen.com)

一旦得到概率xA和xB，就能得到两种流行病的共同感染暴发规模，用PAB表示。在最终状态时，它可被映射为研究多路输入网络中的GCC 的大小，即随机选择一个节点i同时处于网络A 和网络B的GCC中。有三种可能的情况：①具有共易感性的节点i先感染流行病da，再感染流行病db。②具有共易感性的节点i先感染流行病db，再感染流行病da。③没有共易感性的节点i，被da和db独立地感染。情况①发生的概率是情况②发生的概率是情况③发生的概率是与之前的讨论相同，理论上设置s=0.5。结合上述三种情况并考虑度和共易感性的分布，可以得到：

流行病阈值是传播动力学中的另一个重要参数。以流行病dA为例，在边渗透理论中，式（10-6-4）总是有xA=0这个明显的解。当存在非明显的解时，xA＜1，疫情暴发。为了确定暴发阈值pc的值，即流行病da的阈值，我们首先重写式（10-6-4）及式（10-6-5）如下：

式中，fA（xA，xB）和fB（xA，xB）分别表示式（10-6-4）和式（10-6-5）等式右边的部分。在暴发临界点pc，满足以下条件：

5.数值模拟与结果分析

在本节中，进行了广泛的数值模拟，来研究异质共易感性对流行病在同质和异质多层网络中传播的影响。对于同质性多层传输网络，假设两个网络都是ER 网络，其度服从泊松分布，即其中，＜ku＞是网络u∈{A，B}的平均度。对于异质性多层传输网络，设定两个网络为SF网络，其度服从幂律分布为了包含共易感性，设置其中，＜c＞代表群体中共易感性比例的均值，σ是方差。在仿真中，把c＞1的情况视为c=1。

在图10-30中，首先研究了同构网络上的协同流行病传播，其中q=0.99。散点图是10种动态实现方法的仿真结果。既往研究表明，当所有节点均存在共易感性（＜c＞=1）时，PA、PB、PAB的相变随p 的变化不连续增加[22]。当考虑异质共易感性时，这种现象是完全不同的。具体来说，两种疾病的暴发规模均随＜c＞的降低而减小。此外，疫情暴发规模随着σ的增加而减小，因为更多节点有更小的共易感性。可以发现PA、PB、PAB的增量随σ减小，随＜c＞增大，以及一种流行病暴发而另一种没有暴发。本节提出的广义边渗透理论可以很好地预测数值模拟结果，两种预测之间的不同是由邻居状态之间的强动态相关性引起的[7]，这是由异质人群中两种流行病之间的相互作用引起的。为了描述动态相关性，可以使用动态消息传递方法[355]。

图10-30　ER-ER 网络上，不同的共易感性分布对应的疾病暴发规模示例图。随着p 的变化，（a）疾病da的暴发规模；（b）疾病db的暴发规模；（c）疾病da、db同时暴发的规模。符号表示仿真结果的散点图。线是通过求解式（10-6-4）～式（10-6-6）得到的。插图是接近阈值的结果。参数设定为NA=104，NB=104，＜kA＞=＜kB＞=10，γ=1，q=0.99

这里进一步研究了q对ER-ER网络上的协同疾病传播的影响，其中，＜c＞=0.8，σ=1，如图10-31所示。当q值较小时，如q 值为0.2时，两种疾病暴发规模PAB的相变是连续的。当q较大时，如q=0.5和q=0.99时，系统呈现不连续的相变，这里结合相应的仿真结果可以看出相变的变化。在红蓝线的阈值处，可以看到模拟结果出现了跳跃，这是一个不连续的相变。在阈值的灰度线，仿真结果平稳地增加。随着q 的增加，暴发阈值会降低。同样，该理论可以很好地预测数值模拟。

图10-31　在q不同时，ER-ER 随机网络上的疾病暴发规模示例图。在不同的q，随着p 的变化，（a）疾病da的暴发规模；（b）疾病db的暴发规模；（c）疾病da、db同时暴发的规模。符号表示仿真结果的散点图，线是理论解。插图是接近阈值的结果。参数设定为NA=104，NB=104，＜kA＞=＜kB＞=10，＜c＞=0.8，σ=1

如图10-32所示，在SF-SF 网络中，当考虑节点的异质性共易感性时，可以得出结论：无论＜c＞和σ的值如何，两种疾病的共同感染始终呈现连续的相变。这里注意到＜c＞和σ不是很影响暴发阈值。随着＜c＞的增加，暴发阈值会略微降低，传播范围会增加。σ对传播阈值几乎没有影响，暴发规模随着σ的增加而减小。

图10-32　在共易感性的分布不同时，SF-SF网络上的流行病暴发规模示例图。随着p 的变化，（a）疾病da的暴发规模；（b）疾病db的暴发规模；（c）疾病da、db同时暴发的规模。符号表示仿真结果的散点图。线是通过求解式（10-6-4）～式（10-6-6）得到的。参数设定为NA=104，NB=104，＜kA＞=＜kB＞=10，γ=1，q=0.99

最后，这里研究了q对SF-SF网络上协同流行病的影响，如图10-33所示。可以发现，对于任何q值，系统都表现出连续的相变。此外，这里还发现q 对暴发阈值没有任何影响，并且暴发规模随着σ的增加而增大。本节的理论可以很好地预测数值模拟结果。

图10-33　在q不同时，SF-SF随机网络上的疾病暴发规模。在不同的q，随着p 的变化，（a）疾病da的暴发规模；（b）疾病db的暴发规模；（c）疾病da、db同时暴发的规模。符号表示仿真结果的散点图，线是理论解。参数设定为NA=104，NB=104，＜kA＞=＜kB＞=10，＜c＞=0.8，σ=1

6.结论

本节调查了异质人群对共同感染的流行病传播动力学的影响。由于不同个体具有不同的特质，因此导致了异质的共易感性。本节首先提出了一种在多层网络上协作的传染病传播动力学，其中假设个体的共易感性遵循给定的分布。然后，发展了一个广义边渗透理论来描述协作传染病传播动力学的最终状态。最后，对同质和异质多层网络上的协同传播进行了数值研究，发现异质共易感性改变了ER-ER 网络上的相变类型和疾病暴发规模，但不改变SF-SF网络上的相变。本节的结果为研究多路网络上的传播动力学提供了一些见解，2020年在全球范围内传播的2019-nCo V 可能会因季节性流感的协同作用而增强，这需要在今后的研究中进一步探讨[356]。