10.4　双层复杂网络上具有有限接触能力的信息传播

10.4　双层复杂网络上具有有限接触能力的信息传播

1.摘要

信息在多重复杂网络上的传播受到广泛关注。实际上，非弹性资源的限制，例如精力、时间、金钱以及个人接触能力的限制都会影响信息的传播过程。在本节中，提出了双层多路网络上具有有限接触能力的信息传播模型。为了定量研究信息传播，采用基于边划分理论，发现增加接触能力有利于信息传播。如果具有强异质度分布的多路网络随着传播概率的增加，信息暴发规模不断增大。然而，当信息在弱异质或同质度分布的多路网络上传播时，存在一种交叉现象，即信息暴发的规模与传输概率是连续地或不连续地增加，提出的理论计算与数值模拟结果有很好的一致性。

2.介绍

复杂网络上的信息传播是传播动力学研究的一个重要课题，能够用于分析社会信息扩散[25]、革新采纳[283]、健康行为[93，94，284]和金融行为[285]等领域的传播机制和规律，研究人员探究了许多在复杂网络上可能影响信息传播的潜在因素，主要包括个体属性[286-289]、边属性[276，290]、社区结构[171，291-293]、中心度[274]等因素。

有限接触和网络多样性是影响信息传播的两个重要因素。现有的研究表明，个体总是受到如精力、时间和资金非弹性资源的限制，这些因素限制了他们的社交接触能力[22，294-296]。在短时间内个人只能与有限数量的邻居交流。Golder等人发现在社交软件如微博、Facebook和Skype上，尽管用户有很多朋友，但每次只与少许的几个朋友交流[297]。短时间内科学家通常只与少数合作者共著论文[298，299]。Wang等人[59]提出了基于非马尔可夫模型来解释接触能力对信息传播的影响，发现增大接触容量使网络对行为传播更加脆弱。因此，有必要研究关于有限接触能力对信息传播的影响。

此外，在不同的网络中，由于社会网络的多样性，人们有不同的关联关系和度分布。过去，人们对单层网络的建模有大量的研究。人们在不同的社会网络中拥有不同的朋友和社交圈。例如，现实生活中的朋友与在线社交是不同的。因此，双层网络模型考虑了更复杂的信息交互，具有更大的研究意义。由于多层网络之间，度分布的异质性会影响信息传输，文献[300-308]认为多层网络的模型更重要。Shu等人[309]提出了由两个相同的网络组成的相互依存的空间网络中非马尔可夫社会传播模型，对相互依存空间网络上的社会传播进行了数值研究。Wang等人[310]研究了关于信息传播动力学的中间层的感染与恢复。Zhu等人[60]提出了边加权划分理论，研究了不均匀权重分布在加权双层网络上的影响。

根据调研所知，目前没有关于有限接触和网络多样性对信息传播影响的研究。为此，本节提出了双层网络上的传播模型，在双层网络上每个个体仅仅向有限数量的邻居发送信息。利用阈值模型来模拟关于信息传播的非冗余信息的强化推广[311]，并提出一种基于广义边划分理论来量化分析信息传播的机制。内容安排如下。首先是构建具有有限接触能力的双层网络；接下来，提出了一种基于边划分理论来分析双层网络上的信息传播机制。给出了数值模拟方法和参数设置；比较理论预测与数值模拟，探讨了有限接触能力和度分布异质性对信息传播机制的影响，最后得出结论。

3.模型描述

为了探究有限接触能力的信息传播，构建了具有N 个节点，度分布为P（k）的双层网络模型。A 层和B层代表两个不同的社会网络，节点间的连接边代表他们的关系。双层网络的信息传播采用易感态—采纳态—恢复态（SAR）模型表示。每一个时刻，每个节点只能是三种可能状态之一：易感态（S）、采纳态（A）、恢复态（R）。处于易感态节点不采纳信息但可以接收来自邻居节点的信息；采纳态节点接收信息并且传播信息给部分易感态邻居；恢复态节点对信息失去兴趣，不再参与后面的传播过程。

考虑到有限接触能力，利用f（kj）表示A 状态节点j 的接触能力，其中kj是j 的度，f（kj）等于A 状态节点传播消息的邻居数量。如果f（kj）＞=kj，A 状态节点j能传送消息给所有的邻居。如果f（kj）＜kj，A 状态节点j 仅仅随机选择邻居节点f（kj）进行信息传播。对于被选择的邻居，采纳信息的概率是传播概率λ。当采纳节点j的邻居i处于易感态时，它将以概率被感染。

本节采用著名的ER 网络模型[119]和SF网络模型[280]作为物理结构，用mA和mB来累加A 层和B层节点接收到的信息。每一时刻节点i成功接收来自A 层或B层邻居节点的信息，将加1。A 层和B层的采纳阈值是TA和TB。当时，S状态节点i能够采纳信息，进入A 状态，双层网络的节点状态是同步的。也就是说，双层网络中一个节点保持着相同的状态。由于考虑非冗余信息影响传播，信息传播过程属于非马尔可夫过程。

模型中的信息传播过程如下：

起初，选择一定比例的节点ρ0作为A 状态节点，其他节点处于S状态。对于未收到任何行为信息的个体而言，累计接收信息条数mA=mB=0。在每一时刻，每个采纳节点j 首先随机选择f（kj）个邻居，将信息以概率λA（λB）发送给A（B）层中选定的易感邻居。因此，节点i被感染的概率是如果采纳状态节点在A（B）层中成功地将信息传输到其邻居节点i，信息条数mA（mB）将增加一个。一旦传输成功，A（B）层中的节点j将不再传送信息给它的邻居i。当A 层和B层中mA＞TA，mB＞TB时，S状态的节点i将进入A 状态。否则，将维持在S状态。A 层和B 层中相同节点的状态是同步的。信息传输后，A 状态节点j将以概率γ 进入R 状态，不再参与A 层和B层中后面的传播过程。最后，当没有A 状态节点时传播过程将结束。

4.理论分析

基于文献[9，312]，本节提出了基于边划分理论，用来分析给定的模型。通过比较三个状态节点在双层网络中的密度，从理论上分析了具有有限接触能力的双层网络信息传输机制。

假设个体i处于空腔状态[260]，这表明它只能从邻居节点接收信息而不能传输信息。表示度为kj的节点j 在时刻t不会将信息传递给i的概率。个体i到时刻t不接收信息的概率表示为

为了方便分析，使用TA=TB=1的特例来说明一般理论。式（10-4-8）以及式（10-4-9）简化为

将式（10-4-19），式（10-4-20）点入式（10-4-14），可以得到

式中：

随后，将式（10-4-21）和式（10-4-22）代入式（10-4-18）可以得到临界条件。

在图10-18中用图解法可以求出式（10-4-14）的解。当c=1时，不考虑λ的值方程只有一个解。因此，θ（∞）随λ连续减小，导致R（∞）连续增大。当c=8时，方程根的个数随λ增加而改变。因为根的数目可以是1、2或3，所以有鞍点分岔。当λ较小时，方程只有一个根（例如，当λ=0.3）。当λ较大时（例如，λ=0.4），方程有三个根。当根数大于1时，只有最大的稳定根具有物理意义。如图10-18所示，存在不连续临界点λc=0.423，其中方程的根是切点。当λ比λc大时，式（10-4-14）的根迅速减小到一个较小的值，它导致θ（∞）不连续地减小，并导致R（∞）的不连续增长。

图10-18　式（10-4-14）的图解法示例图。F[θ（∞）]的值等于节点的接触能力f（k）等于c。子图（a）（TB=1，c=3）和子图（b）（TB=2，c=10）表示λ对F[θ（∞）]与传播概率θ（∞）的影响。其他参数是TA=1，＜k＞=k=10，γ=1.0，ρ0=0.1

5.数值模拟与结果分析(https://www.daowen.com)

为了保证仿真精度，平均至少有103个动态实现，本节中设置网络规模N=104，平均度＜kA＞=＜kB＞=＜k＞=10。同一网络上的所有人都有相同的接触能力f k（）=c。为了探究接触能力在ER-ER 网络和SF-SF 网络上对信息传播机制的影响，对于ER-ER 网络，网络层X（X∈{A，B}）是泊松度分布对于SF-SF网络，网络层X是幂律度分布其中，参数v 表示层A 和层B的度指数。网络度分布的异质性是与度分布指数v呈负相关。当v 很小时，网络中有几个大度值节点和许多小度值节点。另外，对于方便，信息传输概率设置为λA=λB=λ，回收率为γ=1.0。

采用相对方差χ 曲线的峰值[313]和对应于关键点的信息传输概率如下：

符号＜…＞在这里表示集合平均值。

首先研究了双层强异质性网络中采纳阈值T 和信息传播接触能力c 的影响。在图10-19（a）和（b）中发现信息暴发规模R（∞）随T 增加而减小，随c的增加而增加。此外，R（∞）与传输概率的关系λ随T 和c 的变化而连续增长，如子图（c）所示，处于亚临界状态的节点数量随着λ的增大而不断增大，然后再连续地减小。原因是在强异质性网络中具有大量的较大度节点。这些节点使处于亚临界状态的个体随着λ 的增大逐渐转变为A 状态节点，因此R（∞）对λ也在不断增长。

图10-19　在双层强异质性网络中，采用阈值TA、TB和接触能力c对信息暴发规模R（∞）的影响图示。子图（a）（TA=1，TB=1）和（b）（TA=1，c=8）显示c和TB对信息暴发规模R（∞）随着传播概率λ变化的影响。子图（c）（TA=1）显示了处于亚临界状态的节点相对于传输概率λ的比例。随着TB和c的变化，R（∞）随λ连续增长变化。符号是模拟结果，线条是理论预测其他参数是度指数v=2.1，γ=1.0，ρ0=0.1

接下来又探讨了双层弱异质网络中采纳阈值T 和接触能力c 对R（∞）和亚临界个体比例的影响。可以发现在图10-20（a）和（b）中，R（∞）随T 增加而减少，随c的增加而增加。然而，与强异质性的结果不同，弱异质性网络的R（∞）可以随c的变化而连续或不连续生长。当c很小时，R（∞）是连续增长，c较大时，R（∞）是不连续地增长。如图10-20（c）所示，当c=2，亚临界状态的节点数量随λ的增加连续增加。当c=8时，首先，亚临界状态下的节点数量随λ的增加而不断增加。在节点数量达到最大值后，逐渐减小。由于弱异质性网络的度分布更一致，大多数人都有相同的度和具有相同概率的采纳行为。当c较大时，增加λ可能导致大量节点同时采纳行为，这导致R（∞）不连续的增长模式。在图10-20（d）中用相对方差的尖峰值表示临界转移概率。随着采纳阈值的降低，临界传输概率也降低，但R（∞）对λ的增长方式没有改变。

在图10-21中，探讨了双层ER 网络中采纳阈值T 和接触能力c 对信息传播的影响。由于ER 网络是相对一致的，可以得出类似于图10-20的结论。在R（∞）和λ 的增长模式中存在交叉现象：从连续到不连续。此外，在图10-19和图10-20中双层SF网络上的理论预测与数值仿真结果有较好的一致性。但在图10-21中，在双层ER 网络上，两个预测之间有一个差异，原因是理论预测中假设采纳节点选择要传送信息的邻居的概率是平均的，对于度分布比较均匀的ER 网络来说并不严格。强异质性网络中的大规模节点更有可能采纳行为，这与理论部分的假设更加一致，即节点采纳信息的概率是

图10-20　在双层弱异质性网络中，采纳阈值TA、TB和接触能力c对信息暴发规模R（∞）的影响图示。子图（a）（TA=1，TB=1）和（b）（TA=1，c=8）显示c和TB对信息暴发规模R（∞）随着传播概率λ变化的影响。子图（c）（TA=1）表示处于亚临界状态的节点相对于传输概率λ的比例。弱异质网络的R（∞）随着c的变化可以是连续的，也可以是不连续增长。符号是仿真结果，线条是理论上的预测结果。子图（d）显示了子图（b）中对应的临界扩展概率。其他参数为度指数v=4，γ=1.0，ρ0=0.1

然后在图10-22中探讨了在信息传播上c和λ 对具有不同v 值的R（∞）影响，比较子图（a）和子图（b），可以发现当v 很小时，无论c取何值，R（∞）在λ 上的增长模式总是连续的。当子图（b）中的v较大时，R（∞）随λ 的增长形式是连续或非连续。为了进一步研究c和v 对连续性的影响，在图10-23中，研究了v 和λ 对不同c 值的R（∞）影响。如图10-23所示，当c=1时，R（∞）随λ的增加而连续增加，R（∞）的增长模式为独立的度分布的异质性。当c=8时，存在交叉现象：R（∞）增长随λ的增长从连续到非连续。如图10-23所示，存在一个临界度分布指数vc。当v大于vc时（白色直线下），R（∞）随λ不连续增长。否则，R（∞）随λ持续增长（在白线以上）。

此外，在白线上方，利用迭代方法的数量还可以得到在图10-18中提到的λc的值[79]。当λ大于λc时，θ（∞）突然减小到很小的值，导致R（∞）的增加。

最后，探讨网络度分布的异质性对信息传播的影响。如图10-24所示，可以发现当λ较小时，降低度分布指数v（增加度分布异质性）可以促进信息传递。相反，当λ 较大时，增加度分布指数v（降低度分布的异质性）可以促进信息传递。这种现象的原因如下[79]：在强异质性网络中有一些度值较大得节点和许多度值较小的节点，即使λ值很小，大度值节点也能接收信息。然而，当λ较大时，具有更多平均度分布的弱异质性网络对信息传输越有利。

图10-21　在ER-ER 网络中，采纳阈值TA、TB和接触能力c对信息暴发规模R（∞）的影响图示。子图（a）（TA=1，TB=1）和（b）（TA=1，c=5）显示c和TB对信息暴发规模R（∞）随着传播概率λ变化的影响。子图（c）（TA=1）表示处于亚临界状态的节点相对于传输概率λ的比例。R（∞）随着λ的增长模式中存在交叉现象：从连续到不连续。符号是仿真结果，线条是理论上的预测结果。子图（d）显示了（b）中对应的临界扩展概率。其他参数为γ=1.0，ρ0=0.1

图10-22　在双层SF网络上，信息暴发规模R（∞）与接触能力c和信息传输概率λ 图示。在子图（a）和（b）中显示的是度指数v=21和v=40的R（∞）的颜色编码值。当子图（b）中的v较大时，R（∞）对λ增长不连续。白色圆圈是临界不连续信息传输概率。其他参数为γ=1.0，ρ0=0.1，TA=TB=1

为了在真实的网络中验证结论，在电子邮件网络（E-mail）数据集实验[314]做了相应实验，包括西班牙塔拉戈纳大学Rovira I Virgili（URV）的电子邮件通信网络。A 层是电子邮件网络（E-mail），B层是随机的A层重连网络。网络中的节点数是1133，＜kA＞=＜kB＞=＜k＞=9.62。如图10-25所示，在R（∞）与λ的增长模式中存在交叉现象：从连续到非连续。当c较大时，关键节点的数量先增加然后减少，在双层弱异质性网络上可以得出类似的结论。

图10-23　在双层SF网络上，信息暴发规模R（∞）与度指数v和信息传输概率λ 的关系图。如子图（a）和（b）中，TB=1，c=1和TB=2，c=10的R（∞）的颜色编码值。白色水平线是临界度指数，白色圆圈是临界不连续的信息传输概率。其他参数为γ=1.0，ρ0=0.1，TA=1

图10-24　在双层SF网络上，在不同的度分布指数v下，R（∞）与λ的关系图。符号是模拟结果，线条是理论预测。其他参数是度指数v=4.0，γ=1.0，ρ0=0.1，TA=TB=1，c=3

6.结论

由于资源、精力及其他因素的限制，社交网络上的信息传播受到了影响。在本节中，考虑了在双层网络上的有限接触传输过程。分别从模拟和理论视角两方面提出了双层网络上具有有限接触能力的信息传输模型，并基于边划分理论分析了信息传输的影响。通过大量的实验得出仿真结果和理论结果具有良好的一致性。

研究发现增加接触能力c可以促进信息在双层强异质网络上的连续传播。在双层强异质网络和双层ER 网络上，存在着交叉现象，R（∞）随λ的增加连续或不连续增长。研究还发现存在一个临界度分布指数vc。只有当v 大于vc时，才能通过增加c发现交叉现象，并使用不连续临界点解释了出现这种现象的原因。此外，当λ值较小时，增加度分布的不均匀性可以促进信息传输，同时当λ值较大时，降低度分布的不均匀性可以促进信息传输。本节在双层网络中，理论分析过程可以应用于其他影响因素的研究。除此之外，还探讨了有限交流接触能力对信息传播的影响，对受时间、空间、精力等社会因素影响的资源分配的过程研究提供了参考。

图10-25　在西班牙塔拉戈纳大学Rovira I Virgili（URV）的电子邮件网络上，采用阈值和接触能力c对传播过程的影响图示。子图（a）（TA=1，TB=1）和（b）（TA=1，c=10）显示了c和TB对信息暴发规模R（∞）与传播概率的影响。子图（c）（TA=1）显示处于亚临界状态的节点相对于传输概率的比例。子图（d）表明子图（b）中对应的扩展概率。符号是模拟结果，线条是理论预测。其他参数为度指数γ=1.0，ρ0=0.1