10.5　具有多依赖关系和团体的相互依存网络的级联失效

10.5　具有多依赖关系和团体的相互依存网络的级联失效

1.摘要

近年来，相互依赖的网络上的级联失效引起了很多关注。在本节中，研究了具有多个依赖关系和团体的相互依存网络的级联失效模型。其中一个团体依赖于其他多个网络中的多个团体，并且同一团体中所有节点都可以存活或一起失效。通过渗流理论，可以发现当依赖关系较小时，系统总是经历一阶相变。系统的健壮性随着两个网络之间的多重依赖关系数量的增加和团体的规模而增加。该理论可以很好地预测数值模拟。

2.介绍

现实世界的系统由一些子系统组成，每个子系统都提供一些服务来支持系统的功能[19，20，130，222，229，315]。例如，电力网络为因特网提供电力，并且因特网可以传输信息以控制电力网络。当故障发生在一个子系统中时，不同子系统之间的这种功能依赖性可能会导致级联失效。为了模拟现实系统上的级联失效，学者们提出了一些有趣的模型[316，317]。在这些模型中，最著名的模型是Buldyrev及其同事在2010年提出的[229]。在他们的数学模型中，他们假设两个网络的功能相互依赖。具体来说，网络中的每个节点都依赖于另一个网络中的节点，反之亦然。在一个网络最初出现故障之后，那些未连接到巨型连接群集的节点将无法工作，并进一步导致其依赖节点发生故障。结果，级联失效会在系统中发生，直到不再发生节点失效。通过渗流理论，Buldyrev等人发现系统经历了与单个网络上的二阶相变不同的一阶相变。

继这项工作之后，许多学者专注于动力学研究，例如流行病传播[31，32，45，94，318-323]，社会传染[109]，博弈[238，324]，同步[231，325，326]和其他相互依赖的动力学[327]，网络和多路复用网络。研究人员发现，网络的拓扑结构[315，328-333]显著影响网络的动态性，尤其是级联失效时的动态性。邵等人[334]研究了具有多个支持依赖关系的相互依赖网络上的级联失效，发现当系统具有大量支持关系时，系统经历了二阶相变。最近，Wang等人[186]研究了组依赖性对级联失效的影响，发现系统总是经历一阶相变。然而，Wang等人[187]发现，群体对信息传播动力学的依赖性导致了双重过渡。

本节将研究具有两个特征的相互依存网络上的新型级联失效模型：多重支持-依存关系和团体（或称为组依存关系）。通过大量的数值模拟和广义的渗流理论，可以发现当支撑关系小时，系统总是经历一阶相变。系统的健壮性随着依赖性链接数量和集团规模的增加而增加。

3.模型描述

这里描述了在两个具有多条依赖边的依赖网络上发生的级联失效。相互依赖的网络A0和B0分别具有分布函数，以及网络规模网络层A0由常规节点组成，而网络层B0由团体组成。假定同一集团中所有节点的功能都相互依赖，然后，将网络B0中所有节点随机分到大小为m 的小团体中。接着，将团体合并为一个新节点，并将团体中所有相关链接都将合并到该节点上。当且仅当两个团体的常规节点之间至少有一个链路时，两个团体才会通过链接进行连接。结果，网络层B0被聚集为大小为NB的新网络N。与此同时，对网络层A0不做任何改变，但是可以将其视为具有属性m=1的小群网络，用A（A=A0）来表示，大小为至此，两个派系网络A 和网络B构建完毕。为了获得网络间的复杂依赖，假设来自网络A 的每个团体都随机依赖于网络B中的n个团体，并且来自网络B 的每个团体都随机依赖于网络A 中的n 个团体。这意味着，如果网络中某个团体的所有依赖团体都失败，那么这个团体也将失败，反之亦然。

然后，用团体描述多个相互依赖网络上的级联失效。最初，随机删除网络A 中的PA比例的团体和网络B中的PB比例的团体，以启动迭代级联过程。在网络层X∈{A，B}上，一个团体起作用且未失效的前提是，连接到网络层X∈{A，B}上的极大连通子图在其依赖团体中，至少有一个团体起作用未失效。请注意，团体中所有常规节点都可以同时生存或失效。每个迭代步骤都会删除不起作用的团体，直到所有团体都起作用为止。当没有其他失败团体时，网络A 和网络B将达到其最终稳定状态。在属于极大连通子图的团体中，所有常规节点将在原始常规节点网络中同时生存。极大连通子图的大小为级联过程结束后原始系统中剩余起作用节点的数量。

4.理论分析

本节将从理论上推导团体网络的极大团体以及原始网络的最大团体簇。从理论上讲，假定网络很大、稀疏且类似局部树。在网络层A 和B 中，一个团体的大小即为该团体中常规节点的数量。分别用表示网络层A0和B0的度分布。也就是说，表示在网络A0（或B0）中随机选择一个度为的节点的概率。同样，PA（kA）（或PB（kB））表示在网络层A 和B 中随机选择一个团体，其度为kA（或kB）的概率。由于在网络层A 中团体规模为1，因此在网络层B0中，对于具有m 个随机选择节点的团体，使用生成函数[33]，则PB（kB）的生成函数满足：

定义tA为在网络A 中随机选择一条连边，并且其一端连接到极大连通子图的概率。类似地，为网络B定义了tB。对于网络A 中具有度kA的团体a 与B中的团体b之间的依赖连边，定义为这条连边从a连接到极大连通子图的概率，类似的，对于一条从网络层B到网络层A 的依赖连边，定义为这条连边在网络层B中从b连接到网络层B的极大子图的概率。因此，随机选择网络层A 中的连边l，并且其一端连接团体a。为了使团体a 成为极大连通子图的一部分，条件为：团体a不会被删除的概率是1-pA，并且必须与网络A的极大连通子图相连。此外，至少它的一个依赖团体连接到网络B 的极大连通子图。因此，在网络A 中随机选择的连边一端连接到极大连通子图的概率为

式中，P（kA）kA/＜kA＞为随机选择一条连边，并且这条连边与度为kA团体a 相连的概率，表示在团体a的kA-1个其他连边中至少有一个连边（除了第一个选择的连边外）连接到网络A 的极大连通子图的概率，表示团体a 中n 个依赖连边中的至少有一个连边连接到极大连通子图的概率。类似地，可以得到tB的自一致等式为

定义PAB（kB|kA）为给定A 中度为kA的团体a的条件下，团体a 在B中依赖团体b的度为kB的概率。类似地，在网络层B上也可以定义条件概率PAB（kA|kB）。基于PAB（kA|kB）可以得到概率为

式中，表示度为kA的团体a在网络层B中的n 个依赖邻居（在网络B中）中至少有一个在极大连通子图中的概率。因此，在网络A 中随机选择一个团体属于极大连通子图的概率计算如下：

同样，可以计算为

(https://www.daowen.com)

进一步定义为在网络A0中随机选择的普通常规节点属于网络A0的极大团体簇的概率。同样，为网络A0定义了。由于A=A0，可以有在网络B 中，由于所有团体都有相同的m 个节点，因此

为了找到网络A 的渗流阈值，首先分别将式（10-5-2）和式（10-5-3）变换为

因此，可以数值求解式（10-5-9）获得网络A 的阈值。类似地，可以使用相同的方法获得网络B中的阈值

5.数值模拟与结果分析

本节通过构造依赖网络研究级联失效，并且这些构造网络具有多依赖连边和团体。模拟仿真设置NA=NB=N 以及PA=PB=P，并且通过1000次依赖数值模拟获得平均值。

当设置n=4时，在不同团体大小m 下，研究网络A0（图10-26（c））和B0（图10-26（d））上极大团体簇随移除概率p 的变化。在图中，符号代表数值模拟结果，线代表相应的理论预测。其他参数设置为

图10-26　当网络B的团体大小为m 时，ER-ER 网络的级联失效展示图。当固定m=1时，在不同依赖连边数n的条件下，研究网络A0（a）和B0（b）上极大团体簇随移除概率p 的变化

对于给定的m 值，例如m=1，相互依赖网络的鲁棒性将随n 增加。具体来说，如图10-27（a）和（b）所示，随n和p 增加。另外，渗流阈值Pc随n 增加。当固定m值时，两层之间的相互依赖性连接越多，网络的鲁棒性就越高。即随着m的增加而增加，并且渗流阈值Pc也随着m 的增加而增加。请注意，在任何m 和n 值处，会随p 不连续地减小。本节提出的理论与数值模拟非常吻合。阈值附近的差异由网络规模有限性和动态相关性造成。因此，下文仅介绍理论结果。

图10-27基于参数平面（p，n）详细展示了网络A0和B0的极大连通子图规模研究发现随n增加，而随p 不连续减小。平面分为两个区域，当p=pc，系统中有一个庞大的连通子图；否则，当p＞pc时，极大连通子图消失。

图10-27　ER-ER 网络中，网络A0和B0的极大连通子图的规模变化示例图。其中，度分布为这里平均度是

进一步研究图10-28中相互依赖网络的度分布异质性。在仿真中，将网络A0和B0的度分布设置为幂律，并且表示SF-SF相互依赖的网络。设置与图10-26所示的结果相似，研究发现和在与m 和n的值无关时随p 不连续地减小，而在相关时随m 和n值的增加而增加。同样，本节的理论可以很好地预测数值模拟结果。最后，在图10-29中介绍了SF-SF网络上的和，并且参数平面被去除阈值pc分为两个区域。当p=pc时，的值有限，否则不存在有限的极大连通子图。另外，总是随着p 值的增大不连续地减小。

图10-28　在网络B中，当团体大小为m 时，SF-SF网络上的级联失败展示图。固定m 为1，对于不同的依赖连边数n，网络A0（a）和网络B0（b）的极大连通子图规模与随着去除概率p 的增大而减小。当设置n为4时，在不同团体规模m 下，网络A0（c）和B0（d）的极大连通子图规模随去除概率p 的变化。符号代表数值模拟结果，而线条代表相应的理论预测。其他参数设置为，度指数γ=2.7

图10-29　在SF-SF网络中，当固定m=2时，在参数平面（p，n）中的A0（a）和B0（b）的极大连通子图规模图示。该结果通过理论计算获得，图中虚线代表临界去除概率pc，通过求解式（10-5-9）获得其他参数设置为，以及度指数γ=2.7

6.结论

本节研究了相互依存网络上的级联失效现象。假设两个网络以及团体之间存在多个依赖关系，以及对于这些团体，同一个团体中的节点相互依赖。本节提出了一种渗流理论来分析原始系统的极大连通子图，并发现当依赖连边数量很小时，系统总是经历一阶相变。另外，网络的健壮性随依赖连边数量和团体规模的增大而增加。本节的理论可以很好地预测极大连通子图的规模。并且，研究的结果可以有助于更好地理解相互依赖的网络上的级联失效现象。