1.1　σ-代数与Borel域

1.1　σ-代数与Borel域

概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支,理论严谨,应用广泛.在概率论及有关测度理论的讨论中,我们常常会遇到一些集合类,其中涉及集合的可列并或者可列交运算,下面给出下列定义.

定义1.1.1设Ω是任一非空集合,F是由Ω的一些子集组成的非空集合类,如果F满足：

则称F是Ω上的一个σ-代数.

由定义1.1.1可知：Ω上的一个σ-代数是包含Ω且对余运算和可列并运算封闭的Ω的集合类.

定理1.1.2Ω的任意一族σ-代数的交仍为Ω的σ-代数.

定理1.1.3设C是由Ω的一些子集组成的非空集合类,则存在一个唯一的Ω的σ-代数σ(C),它包含C而且被包含C的任一σ-代数所包含.σ(C)称为由C生成的σ-代数或包含C的最小σ-代数.

由于C*是所有包含C的σ-代数的交,因而对任意包含C的σ-代数F,有C*⊂F,即满足定理条件的σ-代数存在且唯一,并且σ(C)=C*.

证毕

例1.1.1设集合Ω={1,2,3,4,5,6},则定义在Ω上的包含{{2,3}}的最小σ-代数为{Ω,∅,{2,3},{1,4,5,6}}.

例1.1.2设R(1)是一维实数空间,则R(1)上包含集合{[0,+∞)}的最小σ-代数为{R(1),∅,(-∞,0),[0,+∞)}.(https://www.daowen.com)

在研究随机变量的分布时,一维实数空间R(1)和n维实数空间R(n)上的Borel域起着重要的作用.

设Ω=R(1),考虑由R(1)的一些子集组成的集合类

称σ(G)为R(1)上的Borel域,记作B(1),并称B(1)中的集合为一维Borel集.

注1.1.1 B(1)包含一切开区间、闭区间、半开半闭区间、单个实数、可列个实数以及由它们经可列次“并”、“交”及“余”运算而得的集合.

设Ω=R(n)={(x1,x2,···,xn):xi∈R(1),i=1,2,···,n}为n维实数空间.考虑由R(n)的一些子集组成的集合类

称σ(G)为R(n)上的Borel域,记作B(n),并称B(n)中的集合为n维Borel集,其中