1.2.1　概率的公理化定义

1.2.1　概率的公理化定义

古典概型与几何概型中的概率具有共同的性质:非负性、规范性、有限可加性（对古典概型）或可列可加性（对几何概型）.同时,对于一般的随机试验,频率也有类似的性质.由此使人联想到,可以用这些性质作为一般的概率的定义.近代概率论的结构正是遵循这种思路建立起来的.1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫综合了前人的研究成果,提出了概率论公理化结构,使概率论成为严谨的数学分支,这对近几十年概率论的迅速发展起了重要作用.

概率的公理化定义包括三个要素：样本空间、事件域和概率,下面分别给出定义.

定义1.2.1随机试验的可能结果,称为样本点或基本事件,记为ω,样本点全体构成样本空间,记为Ω,即Ω={ω}.

事件A一般可以理解为Ω的一个子集,即A⊂Ω,它包括若干样本点,事件A发生当且仅当A所包含的样本点中有一个发生.

如果把映射A→P(A)看成集合A的函数,那么像普通函数一样,应当考虑A在什么范围内时,P(A)有定义.同时为满足分析随机现象的实际需要,应允许对事件进行必要的运算,因而事件类不能太小,至少对某些运算应该是封闭的.另外,为了给出每个事件的概率,并保证对概率有一定的要求(如可加性等),事件类不能太大,否则无法给出一个“兼顾”各方面要求的概率.这就是运用公理化方法来描述概率模型时所必须考虑的内容.

定义1.2.2设F是由样本空间Ω的一些子集构成的一个σ代数,则称F为事件域,F中的元素（集合）称为事件,并称Ω为必然事件,∅为不可能事件.

此时,事件的运算与集合的运算完全相同.

在概率公理化结构中,对于事件域F中的每个元素A,都有一个实数P(A)与之对应.这种从集合到实数的映射（记为P）称为集合函数.因此,概率是定义在事件域F上的一个集合函数.(https://www.daowen.com)

定义1.2.3设P为定义在事件域F上的一个集合函数,如果它满足下列三个条件：

(1)非负性:∀A∈F,P(A)≥0;

(2)规范性:P(Ω)=1;

(3)可列可加性:若Ai∈F,i=1,2,···,且两两互不相容,则

则称P为概率测度,简称概率.对于A∈F,称P(A)为事件A的概率.

定义1.2.4三元总体(Ω,F,P)称为概率空间,其中Ω为样本空间,F是事件域,P为概率.

在概率论中,概率空间(Ω,F,P)通常被认为是预先给定的,我们可以此为出发点讨论各种问题.至于实际问题中如何选定Ω、怎样构造F以及怎样给定P,则要视具体情况而定.