2.1.1　映射及其逆象

2.1.1　映射及其逆象

定义2.1.1设Ω,R为两个非空集合,若对每一个ω∈Ω,有一个R中元素x=f(ω)与之对应,则称这种对应关系为由Ω到R上的映射,记作x=f(ω),并称f是由Ω到R上的映射.

若f是由Ω到R上的映射,B是R中的任一子集,则称Ω的子集{ω:f(ω)∈B}为B在f下的逆象,记作f-1(B).

若G是由R的子集组成的集合类,则称由Ω的子集f-1(B),B∈G组成的集合类{f-1(B):B∈G}为G在f下的逆象,记作f-1(G).

逆象具有下列性质：

证明从略.

关于映射有下面的重要结论.

定理2.1.1设f是由Ω到R上的映射,

(1)如果B是R上的σ-代数,则f-1(B)是Ω上的σ-代数;

(2)如果G是R上的任一非空集合类,则有(https://www.daowen.com)

证(1)利用逆象的性质以及B是R上的σ-代数便可得到f-1(B)是Ω上的σ-代数.

(2)由(1)知f-1(σ(G))是Ω上的σ-代数,且由G⊂σ(G),有f-1(G)⊂f-1(σ(G)),于是

为证（2）,只需证明相反的包含关系.令

证毕

定义2.1.2设(Ω,F),(R,B)为可测空间,f是由Ω到R上的映射,若对每一个B∈B,有f-1(B)∈F,则称f是从(Ω,F)到(R,B)上的可测映射.