2.1.2　可测函数的定义及判别

2.1.2　可测函数的定义及判别

将可测映射的概念具体化,可得到可测函数的相应概念和性质.

(2)f=(f1,f2,···,fn)是(Ω,F)上的n维实可测函数的充要条件是对每一个k=1,2,···,n,fk是(Ω,F)上的实可测函数.

证(1)必要性显然.为证充分性,令

而F是一σ-代数,因而σ(f-1(G))⊂F.由式(2.1.1)有

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可见fk是(Ω,F)上的实可测函数.

下面证明充分性.为此令G是由一切可测矩形

可见f=(f1,f2,···,fn)是(Ω,F)上的实可测函数.

证毕