7.4 习题
1.证明定理7.1.1的后半部分.
2.设电话总机在(0,t]内接到的电话呼叫数N(t)是具有强度（每分钟）λ的齐次泊松过程,求：
（1）两分钟内接到3次呼叫的概率;
（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率.
3.证明齐次泊松过程的第n个点的到达时刻Sn服从参数为n,λ的伽马分布.
4.设{N(t),t≥0}是参数为λ的齐次泊松过程,求E[N(t)N(t+s)].
5.设N1(t)和N2(t)是分别具有参数λ1和λ2的相互独立的齐次泊松过程,证明:
（1）X(t)=N1(t)+N2(t)是具有参数λ1+λ2的齐次泊松过程;
（2）Y(t)=N1(t)-N2(t)不是泊松过程.
6.设某交通道上设置了一个车辆记录器,记录南行、北行车辆的总数.设N1(t)代表[0,t]内南行的车辆数,N2(t)代表[0,t]内北行的车辆数,{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}是参数分别为λ1,λ2的齐次泊松过程,且两个过程相互独立.如果车辆记录器在t时记录的车辆数为n,问其中有k辆属于南行车的概率为多少？
7.设脉冲到达计数器的规律是到达率为λ的泊松过程,记录每个脉冲的概率为p(0＜p＜1),记录不同脉冲的概率是相互独立的.令N(t)表示已被记录的脉冲数.
(1)求P{N(t)=k},k=0,1,2,···;
(2)N(t)是不是泊松过程.
8.设{X1(t),t≥0}是参数为λ(λ＞0)的泊松过程,即满足以下条件：(https://www.daowen.com)
(1)X1(0)=0;
(2)X1(t)为独立增量过程;
又设{X2(t),t≥0}也是参数为λ(λ＞0)的泊松过程,且与X1(t)独立.令Y(t)=X1(t)+X2(t).求：
(1)μY(t)和RY(s,t);
(2)P{Y(1)=1,Y(2)=2,Y(3)=3}.
9.设有一个非齐次泊松过程,其中
ω为常数,求过程的均值函数和方差函数.
10.对于复合泊松过程,计算Cov(X(s),X(t)).
11.设保险公司的人寿保险单持有者在ti时刻死亡所获得的保险金为Di,且各个Di之间相互独立,均服从[10 000,20 000]上的均匀分布,若在[0,t]内的死亡人数{N(t),t≥0}为强度λ=5的泊松过程,并与{Dn}独立,求保险公司在[0,t]内将要支付的总保险金额Y(t)的均值与方差.
12.某商店每日8时开始营业,从8时到11时,顾客平均到达率线性增加,在8时,顾客平均到达率为5人/时,在11时,顾客平均到达率达最高峰,为20人/时.从11时到13时,顾客平均到达率维持不变,为20人/时,从13时到17时,顾客平均到达率线性下降,在17时,顾客平均到达率为12人/时.假定在不重叠的时间间隔内,到达商店的顾客数是相互独立的,问在8:30～9:30无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内达到商店的顾客数学期望是多少？
