7.3.3　复合泊松过程

7.3.3　复合泊松过程

定义7.3.3如果随机过程{X(t),t≥0}可以表示成如下形式：对任意t≥0,

其中{N(t),t≥0}是一个泊松过程,{Yn,n=1,2,···}是一列独立同分布的随机变量,且与{N(t),t≥0}独立,则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程.

下面举几个复合泊松过程的例子,以便更好地理解定义.

例7.3.4设顾客到达服务系统的时间S1,S2,···形成强度为λ的齐次泊松过程,在每个时刻Sn,n=1,2,···,可以同时有多名顾客到达.Yn表示在时刻Sn到达的顾客人数,假定Yn,n=1,2,···相互独立,并且与{Sn}独立,则在[0,t]时间段内到达服务系统的顾客总人数可用复合泊松过程来描述.

例7.3.5考虑在随机时刻Si出现的具有随机振幅Ai的脉冲,当它通过一个检测器后,其在时刻t的输出为

即脉冲经过检测器时,其振幅开始是Ai,而后以指数率衰减.设检测器是线性的(可加的),脉冲到达是强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0},那么其在时刻t的输出为

这是一个复合泊松过程.(https://www.daowen.com)

由条件,不难验证X(t)具有独立增量性.

(2)因为

所以结论成立.

(3)由条件期望的性质E[X(t)]=E{E[X(t)|N(t)]}及假设知,

上述结果也可以利用特征函数与矩的关系得到.

证毕