9.1.3　 Markov链的有限维分布

9.1.3　 Markov链的有限维分布

设{Xn}为马氏链,一步转移概率矩阵P=(pij),X0有概率分布

则称X0的分布列

为马氏链{Xn}的初始分布.再引入Xn的分布

则q(n)表示马氏链{Xn}在时刻n状态的分布情况.

下面的定理表明q(n)由q(0)和P唯一确定.

定理9.1.3设马氏链{Xn}有初始分布q(0)和转移概率矩阵P=(pij),则

(1)对于任意的正整数n1＜n2＜···＜nr,Xn1,Xn2,···,Xnr的联合分布律为

(2)对于任意的正整数n＞1,Xn的分布

证(1)由全概率公式、条件概率的乘法公式及马氏性,有

(2)由全概率公式得

证毕

例9.1.4设齐次马氏链{Xn,n≥0}的状态空间E={0,1,2},一步转移概率矩阵为

(https://www.daowen.com)

(1)P{X0=0,X2=1};

(2)P{X2=1};

(3)P{X1=2,X2=1,X3=0};

(4)P{X3=1,X2／=1|X0=1}.

解先求二步转移概率矩阵

(1)由乘法公式得

(2)由全概率公式得

(3)由全概率公式、乘法公式及马氏性得

(4)由概率加法、乘法公式及马氏性得

为了后续讨论,我们将马氏性进行扩充,详见如下定理,证明从略.

定理9.1.4{Xn}为马氏链的充要条件是对任意的正整数m,i∈E,A∈Fm-1以及B∈Fm+1,有

其中Fm-1=σ{Xk,0≤k≤m-1},Fm+1=σ{Xk,k≥m+1}.