9.2.1　互通和闭集

9.2.1　互通和闭集

可见i→j.

证毕

若先将可达关系的证明正向进行,再反向进行,就可得出互通关系的传递性.

推论9.2.1若i↔k,k↔j,则i↔j.

定义9.2.2设C⊂E,如果对任意的i∈C,j/∈C,有i／→j,则称C为闭集.若C中没有真子集作为闭集,则称C为不可分闭集.

定理9.2.2 C(⊂E)是闭集的充要条件是对任意i∈C,j/∈C,有

所以i／→j,C是闭集.

证毕

例9.2.1设马氏链的转移概率矩阵和状态空间如下：

(https://www.daowen.com)

试分析它们除了状态空间之外还有多少个闭集？有多少个不可分闭集？

解(1)由定理9.2.2知,下列状态集均是闭集：{2},{1,2},{3,4},{2,3,4},其中{2},{3,4}是不可分闭集.

(2)除了(1)中所列闭集之外,{1,2,3,4},{1,2,5,6,···},{3,4,5,6,···},{2,5,6,···},{2,3,4,5,6,···},{5,6,···},{6,7,···}等都是闭集,此链有无穷多个闭集,但不可分闭集仍只有{2},{3,4}.

定义9.2.3设马氏链的状态空间为E,若除去E之外不存在其他的闭集,则称此链是不可分或不可约的,否则称它是可分的或可约的.

定理9.2.3马氏链不可约的充要条件是它的每一状态可由其他任一状态到达.

证先证必要性.若存在j,k∈E,j／=k,使得j／→k,则F={j}∪{l:j→l}是不包含k的闭集,从而与不可约矛盾.事实上,若F不是闭集,则存在k∈F,s/∈F使得k→s,但由j→k或j=k知,不论哪种情况都有j→s,s∈F,从而F是闭集.

再证充分性.假设马氏链不是不可约的,则存在闭集C,且C是E的真子集,从而必有j∈C,k/∈C满足j→k.

证毕

注9.2.1设D⊂E,则易证包含D的所有闭集的交仍是闭集,且是包含D的最小闭集,记为‹D,称为D的闭包.

定义9.2.4若(aij)为一矩阵,i,j∈A,A是有限集或可列集,且满足

证毕