6.1 确定常微分方程数值解的常用方法
1.欧拉（Euler）法
欧拉法又称欧拉折线法，欧拉折线法的基本思想是利用微分中值定理对方程（6.1）的解函数y=y（x）进行近似。由于y（x）是可微函数，故
其中ξ是介于x0和x0+h之间的一个值。当h比较小时，y'（ξ）和y'（x0）相差不大，故用x0代替上式中的ξ，就得到了近似值
当知道y1以后，再用类似方法来求y（x）在点xk的近似值yk。
这样就得到了方程（6.1）在点xi（i=1，2，…，n）的近似解，式（6.2）称为欧拉公式。
由方程（6.1）在节点xi处成立，得
将y（xi+1）在xi处利用泰勒（Taylor）展开式展开，得
将式（6.3）代入式（6.4），得
在式（6.5）中略去高阶项并用yi和yi+1分别代替式（6.5）中的y（xi）和y（xi+1），可得向前欧拉公式：
将y（xi-1）在xi处利用泰勒展开式展开，得
将式（6.3）代入式（6.7），得
在式（6.8）中略去高阶项并用yi和yi-1分别代替式（6.5）中的y（xi）和y（xi-1），可得向后欧拉公式：
向前欧拉公式和向后欧拉公式相比，向前欧拉公式关于yi+1是显式格式，而在向后欧拉公式中，yi+1隐含在方程中，这样的格式称为隐式格式。
如果将式（6.4）和式（6.5）再多展开一项，得
将上述两式相减并整理得
在式（6.10）中略去高阶项并用yi-1，yi和yi+1分别代替式（6.10）中的y（xi-1），y（xi）和y（xi+1），可得中心差分欧拉公式：
如果将方程（6.1）中常微分方程的两端从xi到xi+1积分，则得
如果用梯形求积公式计算式（6.12）中的积分，则有
在式（6.13）中略去高阶项后可得梯形公式：
一般来说，隐式格式比显示格式具有更好的数值稳定性。但是，由于在隐式格式中，yi+1往往满足的是一个非线性方程，因而需要使用迭代法得到yi+1的近似值，然后代入隐式格式做校正，并以这个校正值作为y（xi+1）的近似值。因此可以选择适当的显示格式计算预测值，我们把这样的格式称为预估-校正公式。预估-校正公式往往既便于计算又具有较好的数值稳定性。
例如，对于梯形公式，可先用向前欧拉公式计算出预测值，再用梯形公式修正，得到
式（6.15）称为改进欧拉公式。
2.龙格-库塔（Runge-Kutta）法
根据微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得(https://www.daowen.com)
由方程（6.1）知
将上式代入式（6.16）并整理得
令K*=f（xi+θh，y（xi+θh）），称其为区间[xi，xi+1]上的平均斜率。只要对这个平均斜率提供一种算法，便可以由式（6.17）得到一种计算公式。
若取θ=0，即取点（xi，yi）的斜率作为整个区间[xi，xi+1]上的平均斜率，这时K*=f（xi，yi），则得到欧拉公式：
若取θ=1，即取点（xi+1，yi+1）的斜率作为整个区间[xi，xi+1]上的平均斜率，这时K*=f（xi+1，yi+1），则得到后退的欧拉公式：
如果取K1=f（xi，yi），K2=f（xi+1，yi+hf（xi，yi）），令K*=
（K1+K2），即取（xi，yi）和（xi+1，yi+1）两点斜率的算术平均作为整个区间[xi，xi+1]上的平均斜率，则得到
这显然是改进的欧拉公式（即梯形公式）。
在[xi，xi+1]内取xi，xi+p，0＜p≤1，将这两个点上的斜率值K1与K2的线性组合作为平均斜率K*。显然，K1=f（xi，yi），而K2=f（xi+p，yi+p），对于其中的yi+p，我们用欧拉公式来计算：
为此有
其中含有3个待定参数λ1、λ2和p。确定这3个待定参数的原则是使得式（6.19）具有二阶精度。为此将K2在点（xi，yi）作二元函数泰勒展开，得
其中fi=f（xi，yi），（fx+ffy）i=fx（xi，yi）+f（xi，yi）fy（xi，yi），将K1和K2代入式（6.19）中的第一式得
而yi+1的泰勒级数展开为
通过比较式（6.20）和式（6.21）二者的系数得到3个待定参数λ1、λ2和p应满足的方程组为
满足式（6.22）、形如式（6.19）的所有公式均称为二阶龙格-库塔公式。特别地，当λ1=λ2=
和p=1时，该式就是改进的欧拉公式；当λ1=0，λ2=1和p=
时，对应的公式为
该式称为中点公式。
为提高精度，在[xi，xi+1]内取xi，xi+p，xi+q，0＜p＜q≤13个点，用这3个点上的斜率值K1，K2和K3的线性组合作为平均斜率K*。
显然，K1=f（xi，yi），K2=f（xi+p，yi+phK1），而K3的预测值我们用公式K3=f（xn+q，yn+q）=f（xi+qh，yi+qh（rK1+sK2））来计算，从而得
为了确定式（6.24）中的待定参数λ1、λ2、λ3、p、q、r和s。我们同样将K1、K2和K3作二元函数泰勒展开，代入式（6.24）中的第一个公式，整理后将其与yi+1的三阶泰勒展开式的对应系数比较，得到待定参数应满足的条件：
参数满足式（6.25）、形如式（6.24）的公式统称为三阶龙格-库塔公式，它也是一族公式。
当λ1=
，q=1，r=-1和s=2时，对应的公式为经典的三阶龙格-库塔公式：
用同样的方法可得龙格-库塔公式的一般表达式：
如果取r=4，用同样的方法可以得到四阶龙格-库塔公式。式（6.27）就是一个经典的四阶龙格-库塔公式：
