8.1　差分格式构造的基本思路

差分法是数值计算方法中微分以及偏微分导数的一种离散化方法，即用相邻两个或者多个数值点的差分代替偏微分方程中导数或者偏导数的一种方法。构造差分格式有多种方法，本书中利用泰勒级数展开来构造差分格式。

如果一个函数f（x）在x=x0的某个领域内具有n+1阶导数，那么其在x=x0处函数的泰勒级数展开式为

其中Rn（x）=，ξ是x0与x之间的一个点。

对函数f（x，t）而言，把x看成固定数，函数f（x，t）在t=t0处用泰勒级数展开得

式（8.4）称为f（x，t）对t偏导数的向前差分。

同理，把x看成固定数，将f（xj，tn-1）在t=tn处展开泰勒级数可得

式（8.6）称为f（x，t）对t偏导数的向后差分。(https://www.daowen.com)

将式（8.4）和式（8.6）相加，整理可得

式（8.7）称为f（x，t）对t偏导数的中心差分。

将式（8.3）和式（8.5）相加，整理可得

式（8.8）称为f（x，t）对t二阶偏导数的中心差分。

利用同样的方法可得函数f（x，t）对x偏导数的向前、向后和中心差分格式：

函数f（x，t）对x二阶偏导数的中心差分格式为