8.6　一维扩散方程加权隐式差分格式

8.6　一维扩散方程加权隐式差分格式

本节构造了一维扩散方程加权隐式差分格式，并以用Excel确定其数值解为例介绍了用隐式差分格式确定偏微分方程数值解的Excel模板的制作和设计。

1.一维扩散方程

一维扩散方程：

初始条件为

边界条件分别为

2.一维扩散方程加权隐式差分格式的构造

将区域［a，b］ ×[0，T]进行剖分，用τ和h分别表示时间t方向和空间x方向的网格步长，其中：h=，M表示节点个数；xi=ih，i=0，1，…M；τ=（N为正整数）；tn=nτ，n=0，1，…N；表示方程（8.23）在节点（xi，tn）处的数值解。

在方程（8.23）中，如果T（x，t）对t的偏导数用向前差分格式（8.4），T（x，t）对x的二阶偏导数用中心差分格式（8.12），则便可以得到方程（8.23）的差分格式：

如果对t的偏导数用向后差分格式（8.5），便得方程（8.23）的差分格式：

把式（8.25）改写为

(https://www.daowen.com)

用θ（0≤θ≤1）乘以式（8.24），用（1-θ）乘以式（8.26），其结果相加得到如下加权隐式差分格式：

把式（8.27）写成便于计算的形式：

其中，λ=，i=1，2，…，M-1；n=1，2，…，N。

初始条件变为

边界条件变为

式（8.27）和（8.28）的稳定性条件如下：当0≤θ≤0.5时，稳定性条件是2αλ≤；当0.5＜θ≤1时，无限制稳定。

将式（8.28）与初始条件、边界条件结合到一起，矩阵形式变为

其中

其中，a1=-αλθ，a2=1+2αλθ，b1=αλ（1-θ），b2=1-2αλ（1-θ）。