8.10 二维瞬态热传导问题
在直角坐标系内二维瞬态热传导问题可以用如下方程描述：
其中f（x，y，t）为热源。
当f（x，y，t）=0时，方程（8.51）中的
用对x二阶偏导数的中心差分〔即式（8.42）〕来表示
用对y二阶偏导数的中心差分即〔式（8.46）〕来表示，代入式（8.51），整理得
其中Ti，j=T（xi，yj）。
例8.5 在方程（8.51）中，当f（x，y，t）=0时，边界条件为
则方程（8.51）的解析解为
第一步，调试迭代计算。在“文件”菜单下选择“选项”，在“选项”对话框中选择“公式”副对话框。选择启用迭代计算，最多迭代计算次数设为1000，最大误差设为0.001并单击“确定”按钮。
第二步，计算解析解。在单元格区域A2：A12中输入自变量y的值；在单元格区域B13：L13中输入自变量x的值；在单元格B2中输入解析解的计算公式“=SINH（PI（）*（1-$A2））*SIN（PI（）*B$13）/SINH（PI（））”（这里取a=1，b=1）。注意，单元格A2对应自变量y，其应用列绝对引用，行相对引用；单元格B13对应自变量x，其应用行绝对引用，列相对引用。选中单元格B2，把鼠标箭头指针到单元格B2的右下角，待其变为填充柄（“
”符号）时，按住鼠标左键把向右拖动到单元格L2，完成单元格区域B2：L2的自动填充。选中单元格区域B2：L2，把鼠标指针移动到单元格L2的右下角，待其变为填充柄（“
”符号）时，按住鼠标左键向下拖动到单元格L12，实现单元格区域B2：L12的自动填充，完成解析解的计算，如图8.24所示。(https://www.daowen.com)
第三步，输入边界条件。在单元格区域A16：A26中输入自变量y的值；在单元格区域B27：L27中输入自变量x的值；在单元格区域B16：L16、B17：B26和L17：L26内分别填上边界条件、左边界条件和右边界条件“0”，在单元格区域C26：K26内用下边界条件表达式输入相应的公式，如图8.25所示。
图8.24 解析解
第四步，输入和计算差分格式。用式（8.52）在单元格C17中输入“=（B16+D16+C15+C17）/4”。把鼠标指针移动到单元格C17的右下角，待其变为填充柄（“
”符号）时，按住鼠标左键向右拖动到单元格K17，完成单元格区域C17：K17的自动填充。选定单元格区域C17：K17，把鼠标指针移动到单元格K17的右下角，待其变为填充柄（“
”符号）时，按住鼠标左键向下拖动到单元格K26，实现单元格区域C17：K26的自动填充。这时按功能键F9，单元格区域C17：K26内开始自动迭代计算，此后一直按功能键F9，直到数据最后稳定为止，此时就得到差分格式（8.52）对应的数值解，如图8.25所示。
图8.25 数值解
第五步，绘制图像。选中单元格区域B2：L12，依次单击“插入”、图表下拉按钮、“更多散点图（
）...”，选择“曲面图→曲面图”，单击“确定”按钮，就得到数值解的云图，如图8.26（a）所示。选中单元格区域B16：L26，依次单击“插入”、图表下拉按钮、“更多散点图
）...”，选择“曲面图→曲面图”，单击“确定”按钮，就得到解析解的云图，如图8.26（b）所示。为了更好地观察，在一个直角坐标系内绘制直线y=0.5上的数值解和解析解的比较图，如图8.27所示。
图8.26 数值解与解析解的云图比较
图8.27 y=0.5上的数值解和解析解的比较图
