9.2　进行区间估计

9.2　进行区间估计

1.几种区间估计

（1）区间估计的基本概念

区间估计以点估计为基础进一步优化，可算出总体参数的一个区间范围，该区间是利用样本数据得到的。其优点是可反映估计的误差范围，也就是说，能给出一个一定程度上的可信区间，而点估计无法做到这点。

如果总体X的概率分布定义中含有一个未知参数θ，对于任意已知的数α（0＜α＜1），如果存在两个统计量θ1（X1，X2，…，Xn）及θ2（X1，X2，…，Xn），且满足P｛θ1＜θ＜θ2｝=1-α，则称随机区间（θ1，θ2）为置信区间，θ1，θ2为参数θ的置信下限和置信上限，1-α为置信度。

本章中的符号假设：总体均值→μ；总体标准差→σ；总体方差→σ2；样本均值→；样本方差→S2=；置信度→1-α。

（2）单个正态总体的区间估计

①总体方差σ2已知时，对μ的区间估计

如果已知样本（X1，X2，…，Xn）是来自总体X～N（μ，σ2）的正态分布，总体方差σ2已知时，可按如下方法对置信度1-α对应的总体均值μ进行区间估计。

引入随机变量，则有Z～N（0，1），

因为λ2=zα/2，λ1=-zα/2，所以就有

因此，总体方差已知时，总体均值μ的置信度为1-α的对应区间是

②总体方差σ2未知时，对总体均值μ的区间估计

如果样本（X1，X2，…，Xn）是来自总体X～N（μ，σ2）的正态分布已知，总体方差σ2未知时，可按如下方法对置信度1-α对应的总体均值μ进行区间估计。

引入统计变量，则T～t（n-1），

因为λ2=tα/2（n-1），λ1=-tα/2（n-1），所以就有

因此，总体方差σ2未知时，总体均值μ的置信度为1-α的对应区间是

③总体均值μ已知时，对总体方差σ2的区间估计

如果已知样本（X1，X2，…，Xn）是来自总体X～N（μ，σ2）的正态分布，μ总体的均值已知时，可按如下方法对置信度1-α对应的总体方差σ2进行区间估计。

引进随机量χ2=，则χ2～χ2（n）。

因此，总体均值μ已知时，总体方差σ2的置信度为1-α的对应区间是

④总体均值μ未知时，对总体方差σ2的区间估计

如果样本（X1，X2，…，Xn）是来自总体X～N（μ，σ2）的正态分布已知，总体均值μ未知时，可按如下方法对置信度1-α对应的总体方差σ2进行区间估计。

因此，总体均值μ未知时，总体方差σ2的置信度为1-α的对应区间是

（3）两个正态总体的区间估计

①两个总体均值之差μ1-μ2的区间估计

设有两个独立服从正态分布的总体，分别为X～N（μ1，）和Y～N（μ2），（X1，X2，X3，…，Xn）来自总体X，（Y1，Y2，Y3，…，Ym）来自总体Y，则～

置信度1-α的μ1-μ2的置信区间为

②两个总体方差之比的区间估计

设有两个独立服从正态分布的总体，分别为X～N（μ1，）和Y～N（μ2，），（X1，X2，X3，…，Xn）来自总体X，（Y1，Y2，Y3，…，Ym）来自总体Y，引进随机变量

此时对应于置信度1-α的的置信区间为

2.Excel区间估计模板的制作与设计

Excel区间估计模板的设计与制作过程用以下几个例子来阐述。

（1）正态总体均值的区间估计

例9.1 已知一批灯泡的使用寿命X服从正态分布N（μ，σ2），从中任抽出9只检验，分别为1600，1440，1458，1424，1453，1230，1310，1450，1550，试求以下条件下该批灯泡的使用寿命的置信度为0.95的置信区间：

①总体标准差已知（σ=30）时均值的区间估计；②总体标准差未知时均值的区间估计。

模板的制作过程如下。

①总体标准差已知

第一步，输入样本值。为了提高模板的通用性，单元格区域B2：P3设计为样本值输入区域，将样本Xi的9个值输入单元格区域B2：J3，如图9.3所示。

图9.3　样本数据输入区

第二步，输入已知量。将总体标准差σ=30输入单元格B4中，置信度1-α=0.95输入单元格B5。

第三步，计算各统计量和参数。将样本均值公式“=AVERAGE（B2：P3）”输入单元格B7，样本容量计算公式“=COUNT（B2：P3）”输入单元格B8，分位值α的计算公式“=1-B3”输入单元格B9，μα的计算公式“=NORMSINV（1-B9/2）”输入单元格B10。(https://www.daowen.com)

第四步，计算置信区间。将式（9.4）中的计算公式“=B4*B10/SQRT（B8）”输入B11单元格，置信区间上限的计算公式“=ROUND（B7-B11，3）”（小数点后面保留三位）输入单元格B12，置信区间下限的计算公式“=ROUND（B7-B11，3）”输入单元格B13，置信区间确定公式“=＂[＂&B12&＂，＂&B13&＂]＂”输入单元格B14，如图9.4所示。

图9.4　总体标准差已知时对总体均值的区间估计模板

②总体标准差未知时

第一步，输入样本值。同图9.3所示的类似。

第二步，输入已知量。如图9.5所示，将置信度1-α=0.95输入单元格B4。

第三步，计算各统计量和参数。将样本均值计算公式“=AVERAGE（B2：Q3）”输入单元格B6，样本标准差计算公式“=STDEV.S（B2：P3）”输入单元格B7，样本容量计算公式“=COUNT（B2：P3）”输入单元格B8，分位值α的计算公式“=1-B4”输单元格B9，tα/2（n-1）的计算公式“=T.INV.2T（B9，B8-1）”输入单元格B10，式（9.5）中（n-1）的计算公式“=B7*B10/SQRT（B8）”输入单元格B11，置信区间上限的计算公式“=ROUND（B6-B11，3）”输入单元格B12（小数点后保留三位），置信区间下限的计算公式“=ROUND（B6+B11，3）”输入单元格B13，置信区间确定公式“=＂[＂&B12&＂，＂&B13&＂]＂”输入单元格B14，如图9.5所示。

图9.5　总体标准差未知时对总体均值的区间估计模板

（2）正态总体方差的区间估计

例9.2 某品牌手表生产厂生产的手表的走时有误差，设误差X服从正态分布N（μ，σ2），工作人员从生产线上随机地抽取9只手表进行测量，结果如下：-4.1，2.8，3.1，-3.0，2.5，1.1，-2.9，2.0，0.9。

试求以下条件下该手表走时误差的置信度0.95的置信区间：

①总体均值已知（μ=0.3）时，总体方差的区间估计；②总体均值未知时，总体方差的区间估计。

模板的制作过程如下。

①总体均值已知

第一步，输入样本值。为了提高通用性，单元格区域B2：P3设计为样本值输入区域，将样本Xi的9个值输入单元格区域B2：J3，如图9.6所示。

图9.6　样本输入区

第二步，输入已知量。将总体期望0.3输入单元格B4，置信度1-α=0.95输入单元格B5。

第三步，计算各统计量和参数。将式（9.6）中（Xi-μ）2的计算公式“=SUMSQ（（B2：P3）-$B$4）-COUNTBLANK（B2：P3）*B4^2”输入单元格B7，样本容量计算公式“=COUNT（B2：P3）”输入单元格B8，分位值α的计算公式“=1-B6”输入单元格B9，的计算公式“=CHIINV（B9/2，B8）”输入单元格的计算公式“=CHISQ.INV（B9/2，B8）”输入单元格B11。

第四步，计算置信区间。用式（9.6）将置信区间上限的计算公式“=ROUND（B7/B10，3）”（小数点后面保留三位）输入单元格B12，置信区间下限的计算公式“=ROUND（B7/B11，3）”输入单元格B13，置信区间确定公式“=＂[＂&B12&＂，＂&B13&＂]＂输入单元格B14，如图9.7所示。

图9.7　均值已知时总体方差的区间估计模板

②总体均值未知

第一步，样本值输入。同图9.6所示的类似。

第二步，输入已知量。将置信度1-α=0.90输入单元格B4。

第三步，计算各统计量和参数。将样本均值计算公式“=AVERAGE（B2：P3）”输入单元格B6，样本方差计算公式“=VAR.S（B2：P3）”输入单元格B7，样本容量统计公式“=COUNT（B2：Q3）”输入单元格B8，分位值α的计算公式“=1-B4”输入单元格B9。

第四步，计算置信区间。将确定（n-1）的公式“=CHIINV（B9/2，B8-1）”=CHIINV（B9/2，B8-1）输入单元格B10；确定（n-1）的公式“=CHIINV（1-B9/2，B8-1）”输入单元格B11，用式（9.7）将置信区间上限的计算公式“=ROUND（（B8-1）*B7/B10，3）”和置信区间下限的计算公式“=ROUND（（B8-1）*B7/B11，3）”分别输入单元格B12和单元格B13，置信区间确定公式“=＂[＂&B12&＂，＂&B13&＂]＂”输入单元格B14，如图9.8所示。

图9.8　总体均值未知时总体方差的区间估计模板

（3）两个总体参数的区间估计

例9.3 某研究机构为了提高产量，从甲、乙类两种试验田分别随机抽取8亩（1亩≈666.67m2）地和10亩地，测得亩产量如下（单位：千克）。

甲类：12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。

乙类：8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5。

这两类试验田的产量相互独立且都服从正态分布。

①“”总体甲类试验田的总体标准差为15，总体乙类试验田的总体标准差为9，求置信度0.95的总体均值之差μ1-μ2的置信区间。

②当总体甲类试验田和总体乙类试验田的总体标准差未知时，求置信度0.95的方差比的区间估计。

模板的制作如下。

①总体均值之差μ1-μ2的置信区间

第一步，输入样本值。为了提高模板的通用性，将单元格区域B2：P3设计为第一个样本值的输入区域，将本例中样本Xi的8个值输入单元格区域B2：I2；将单元格区域B5：P6设计为第二个样本值的输入区域，将本例中样本Yi的10个值输入单元格区域B2：K2，如图9.9所示。

第二步，输入已知量。将甲类试验田（以下简称“甲样本”）的总体标准差15输入单元格B7，乙类试验田（以下简称“乙样本”）的总体标准差9输入单元格B8，置信度1-α=0.95输入单元格B9。

图9.9　两个总体样本值

第三步，计算各统计量和参数。将甲样本总体均值的计算公式“=AVERAGE（B2：P3）”输入单元格B11，乙样本总体均值的计算公式“=AVERAGE（B5：P6）”输入单元格B12，统计甲样本容量的计算公式“=COUNT（B2：P3）”输入单元格B13，统计乙样本容量的计算公式“=COUNT（B5：P6）”输入单元格B14，分位值α的计算公式“=1-B9”输入单元格B14，确定μα的公式“=NORMSINV（1-B15/2）”输入单元格B16。

第四步，计算置信区间。将式（9.8）中的计算公式“=B16*SQRT（B7^2/B13+B8^2/B14）”输入单元格B17，置信区间上限和置信区间下限的计算公式“=ROUND（=B11-B12-B17，3）”和“=ROUND（=B11-B12+B17，3）”分别输入单元格B18和B19，置信区间确定公式“=＂[＂&B18&＂，＂&B19&＂]＂”输入单元格B20中，如图9.10所示。

图9.10　两个总体均值之差μ1-μ2的区间估计

②总体方差之比的置信区间

第一步，输入样本值。同图9.9所示的类似。

第二步，输入已知量。如图9.11所示，将置信度1-α=0.95输入单元格B7。

第三步，计算各统计量和参数。将甲样本总体方差的计算公式“=VAR.S（B2：P3）”输入单元格B9，乙样本总体方差的计算公式“=VAR.S（B5：P6）”输入单元格B10，统计甲样本容量的计算公式“=COUNT（B2：P3）”输入单元格B11，统计乙样本容量的计算公式“=COUNT（B5：P6）”输入单元格B12，分位值α的计算公式“=1-B7”输入单元格B13，确定μα的公式“=NORMSINV（1-B15/2）”输入单元格B16。

第四步，计算置信区间。把式（9.10）中确定（m-1，n-1）的公式“=F.INV（0.95，B12-1，B11-1）”输入单元格B14，置信区间上限和置信区间下限的计算公式“ROUND（1/B14*B9/B10，3）”和“=ROUND（B14*B9/B10，3）”分别输入单元格B15和B16，确定置信区间公式“=＂[＂&B18&＂，＂&B19&＂]＂”输入单元格B17，如图9.11所示。

图9.11　两个总体方差之比/的区间估计

在以上6个模板中的样本容量不超过30时，样本数据任意改变或者修正其他已知参数时，也可以计算相应的区间估计，模板具有通用性和扩展性。