4.2.1　相干态的定义

4.2.1　相干态的定义

相干态有两种形式的定义，可以证明这两种定义形式的等价性。

定义4.1（格劳伯定义）相干态|α〉为湮灭算符的（唯一）本征态，对应的本征值为α。

湮灭算符ˆa的本征值方程为

由于湮灭算符ˆa是非厄米的，且没有任何边界条件限定，因此，α可取任意的复数，记为α=|α|eiθ。其中，|α|和θ分别为相干态|α〉的振幅和相位。

以归一化数态完备集{|n〉},(n=0,1,2,···)为基展开相干态|α〉:

因子〈0|α〉可由归一化条件得出，即

因此，相干态在数态基矢集合上的展开表达式为

可以看到，相干态表示为具有不同数量光子的光子数态的相干叠加，相干态的光子数态展开形式也是其最常用的表达形式。

定义4.2平移真空态得到相干态。

定义平移算符：

(https://www.daowen.com)

这里,α为任意复数。利用算符的Baker-Hausdorあ定理：

可以证明，平移算符具有如下性质：

将算符α*ˆa展开成指数函数形式，并利用关系ˆa|0〉=0，可得

显然与相干态的展开式(4.31)相同。因此，相干态可由平移算符作用到真空态上得到。

证明由平移算符定义的相干态是湮灭算符的本征态。

□证明如下：

两边乘上平移算符ˆD(α)，可以得到

即平移算符作用到真空态上得到的相干态正是湮灭算符ˆa的本征态，且本征值为复数α。■