5.2 光子计数的统计
考虑一个光子计数实验：记录在设定时间间隔T内能够触发探测器的光子数。我们考虑具有恒定强度I和角频率ω的完全相干单色光的简单情况。在光的量子图像中，这就是由一串光子组成的光束。光子通量Φ定义为单位时间内通过光束横截面的平均光子数。显然，Φ可以用能流除以单个光子的能量得出
其中，A为光束的横截面积，P为光的功率。
光子计数探测器的量子效率η定义为探测器记录的光子数与入射光子数的比率。因此，在计数时间段T内探测器记录的平均光子数为
那么，可以得到对应的平均计数率R：
光子计数器可以达到的最大计数率取决于探测器的“死时间”（dead time），也就是探测器在每次探测后需要μs量级的时间恢复到初始状态，因此在两次连续的探测之间没有计数。这实际上就给出了光子计数率R的上限，为106/s。结合探测器的实际效率稍大于10%的现状，则由式(5.3)可看出，光子计数器只有在分析功率为10-12 W量级（非常微弱）的光束时才是可用的。
上面讨论的光子通量和探测器计数率都代表了光束的平均性质。一束光如果具有确定的平均光子通量，那么在一个非常短的时间间隔内将不会展现光子数涨落，这是将一束光分割成不相干的粒子––“光子”的自然结果。请看下面的例子说明。
考虑平均功率为1 nW、光子能量为2 eV的一束光。这束光可先由氦氖激光器发射波长为633 nm、功率为1 mW的光束，再经过滤波器衰减为原来的1/106而得到。可以计算出平均光子通量：(https://www.daowen.com)
光速为3×108 m/s，那么一段长度为3×108 m的光束平均包含3.1×109个光子。进一步，我们可以预期在一个3米长的光束里平均光子数为31。而在更小的尺度内，平均光子数将出现分数，比如1 ns的计数时间对应着30 cm的光束长度，则包含的平均光子数为3.1。而由于光子是离散的能量包，实际光子数应该是整数，也就是每段光束中都应该存在整数个光子，如图5.2所示。
图5.2 功率为1 nW、持续时间为1 ns的光束中平均光子数为3.1
假设在给定光束中每一点处的光子都是等概率存在的，那么就会发现存在大于和小于平均值的涨落。比如，我们也许会在30个光束段中看到如下的光子分布：
统计分析上述数列，总的光子数为94，平均值为3.13，标准差为1.80。有统计涨落是因为我们无法确切知道光子究竟处于光束的哪个位置。
如果我们所取的光束段尺度更小，涨落就更为明显。比如，一个3 cm的光束段打到探测器上的时间持续100 ps，则平均光子数减少为0.31，该段光束很大可能是空的。10个这样的光束段的光子分布可能是1,0,0,1,0,0,0,0,0,1。这样的序列的光子总数为3，平均值为0.3，而统计标准差为0.48。很显然，时间尺度越小，越难以知道光子到底处于什么位置。因此，如果我们把30 cm的光束段分割成1 000份，每份为0.3 mm的长度，对应着1 ps的时间间隔，我们会发现只有3个时间间隔内存在光子，而另外997个时间间隔内是空的，并且我们无法预言到底哪3个时间间隔是包含光子的。
上面的例子说明，虽然光束的平均光子通量是完全确定的，但在很短时间尺度内光子数存在涨落，这是由光子的离散属性决定的，这些涨落由光子统计来描述。在接下来的内容中，我们将讨论光的各种统计性质。
