5.3 相干光：光子的泊松分布
在经典物理中，光是电磁波。目前已知的最稳定的光是具有恒定的角频率ω、相位φ和振幅E0的相干光：
其中，E(x,t)是自由空间光波的电场，k=ω/c。由理想单模激光器在阈值以上稳定激发的光可以看作相干光。光强I正比于振幅的平方，如果振幅和相位都是与时间无关的恒定量，则光强恒定，光强和光子通量都没有涨落。
考虑一具有恒定功率P的光束，在长度为L的空间间隔内，平均光子数为
假定L足够大，使得¯n可以取一个确定的整数值。现在，把这个光束段分成长度为L/N的N份，当N取足够大时，在任一光束段中发现一个光子的概率p=¯n/N非常小，显然发现两个或更多光子的概率可以忽略。
我们要求解的是：在长度为L、包含N个分段的光束中，发现n个光子的概率P(n)是多少？P(n)就是在n个子段中分别包含1个光子，而其他N－n个子段不包含光子的所有可能排序出现的概率，这个概率可由二项分布（binomial distribution）（参考附录C.1.1）得出：
由p=¯n/N，可得
重排上式，可得
考虑当N→∞时的情况。利用Stirling公式：
可以得到
因此
应用二项式定理：
因此，可得(https://www.daowen.com)
因此，我们可以得到恒定强度的相干光的光子统计为
这个分布称为泊松分布（Poisson distribution）。
可以证明泊松分布是归一化的：
泊松统计一般只适用于返回正整数值的随机过程，典型的泊松分布案例为统计一个时间段内落入容器中的雨滴数目。盖革计数器测量辐射源的计数总是整数，而其平均值¯n决定于辐射源的半衰期、辐射材料的量和设定的时间间隔等。实际的测量值则由于辐射的随机性在平均值上下涨落，n的概率符合泊松分布。对于一束光，光子计数的随机性来源于连续光束被分割为离散的能量包，而在任意给定的时间间隔内发现能量包的概率相等。
光子数平均值¯n为
对于一个随机变量，可以通过多次测量来确定概率分布，虽然每次的测量结果不可预测，但可以得到测量结果的平均值。此外，由(5.15)式可以看出测量出n个光子的概率分布由平均值
唯一确定。
由(5.15)式同样可以得到：
图5.3 平均光子数
=0.1、1、5、10时的光子泊松分布(0≤n≤20)
某一平均值下的统计分布涨落的方差表示为
可以得到泊松分布的方差：
