6.3.4 HBT实验的量子理论
前面对HBT实验的分析，可以看出对实验的不同解释在于把入射光看作经典光还是量子光。在经典解释中，实验测量的是入射光经典强度涨落对应的二阶关联函数g(2)(τ)。而在量子理论解释中，实验测量的是两个光子探测器上光子计数的涨落对应的g(2)(τ)。对比这两种解释，显示出g(2)(τ)取值的重要性，因为g(2)(τ)＜1只对反聚束的光子才有可能成立。本节用光量子理论重新分析HBT实验。
图6.10给出了HBT实验的示意图。其中，50:50分束器有4个端口，2个输入端标记为1和2，2个输出端标记为3和4，其中第i个端口对应的光场标记为εi。单光子计数器D3和D4用来探测输出的光子，D3探测到一个光子则触发电子计时器开始计时，D4探测到一个光子则终止计时，以此记录两个探测器先后各探测到一个光子的时间间隔。因此，实验记录的是D3在t时刻和D4在t+τ时刻各探测到一个光子的符合计数的次数。多次重复实验，则可以得到每个间隔τ上测得的符合计数次数的分布图。对分布归一化后，可以得到二阶关联函数:
图6.10 HBT实验的示意图
其中，n3(t)和n4(t+τ)是D3和D4分别探测到的光子数。量子光场中的光子数可以用光子数算符ˆn=ˆa†ˆa表示，因此，二阶关联函数最终表示为光子的产生算符(ˆa†)和湮灭算符(ˆa)的形式：
其中，产生算符
在左、湮灭算符ˆa在右的排序方式，称为正则排序。算符的正则排序是光电子探测过程的结果。
由于g(2)(0)的取值是区分量子和经典的显著标志，因此我们只关注g(2)(0)的性质。可得
在经典理论中，经过分束器的经典光场，输入与输出之间的关系为
其中，负号来自光在分束器上反射引入的大小为π的相移，是分束器能量守恒的结果。对于量子光场，同样可写出输出光子的湮灭算符：
只要对上面两式取厄米共轭，即可得到对应的产生算符。(https://www.daowen.com)
HBT实验中，光子只在端口1输入，这意味着输入端2为真空，可写出输入态形式为
其中，|ψ1〉是输入端1的任意输入态，而|02〉表示输入端2的真空态。由此可以分别计算出式(6.39)的分母和分子：
利用关系式：
综合上述结果，可以得到
其中，最后一步是对输入端1的所有量子态求平均。
上述结果可用于估算任意输入态的关联函数。例如：输入的是光子数态|n〉，可以得到
这意味对于单光子源（每次只辐射出一个光子，n=1），可以得到高度非经典值g(2)(0)=0。
