7　量子桌球

最近银行正在做土地管理局的一个项目，汤普金斯先生成天忙得晕头转向。这天回家的时候，他路过一间酒吧，于是决定进去喝一杯。麦芽酒一杯接一杯下了肚，汤普金斯先生很快有了几分醉意。酒吧后面有一间桌球室，巨大的球桌旁边挤满了穿短袖衫的男人。他隐约记得自己以前来过这里，当时一位同事教过他打桌球。汤普金斯先生走到桌边开始观战。这种游戏看起来真是怪极了！一位玩家把球放在桌上，然后挥杆击中了它。紧盯着滚动的桌球，汤普金斯先生惊讶地发现，眼前的小球开始“弥散”。对于桌球的古怪行为，他只能想出这么个词儿来描述：绿色桌布上滚动的桌球变得越来越模糊，渐渐失去了清晰的边界。眼前的桌球看起来似乎不是一个，而是很多个，它们挤成一团，彼此部分重叠。这样的景象汤普金斯先生并不陌生，但今天他一滴威士忌也没喝，所以他实在不明白，这到底是怎么回事。“呃，”他想道，“我倒想看看，这样的桌球怎么能击中另一个球。”

击球的玩家显然是个高手，滚动的桌球准确地击中了另一颗球。一声撞击的脆响之后，原来那颗桌球和被击中的球（汤普金斯先生已经分不清它们谁是谁了）同时“滚向四面八方”。是的，听起来是很奇怪；眼前的桌球不再是两个，而是很多很多个，每一个都很模糊，它们从初始的撞击点出发，飞向180度范围内的所有方向，看起来就像一道特殊的波。

不过汤普金斯先生注意到，初始撞击方向的那一波球看起来最实在。

“S波的散射。”一个熟悉的嗓音出现在他身后，汤普金斯先生认出了教授的声音。“可是，”汤普金斯先生困惑地问道，“难道这里也有什么东西是弯曲的吗？桌子看起来很平啊。”

“你说得对极了，”教授回答，“这里的空间相当平坦，你观察到的实际上是一种量子现象。”

“噢，你说的是矩阵！”汤普金斯先生略带讽刺地说。

“或者说运动的不确定性。”教授回答。

“桌球室的主人在这儿放了几件，呃，或许我可以说，具备‘宏观量子效应’的物品。事实上，自然界的所有物体都遵循量子定律，但主宰这种现象的所谓量子常数非常非常小；确切地说，它的小数点后面足足有27个零。不过，对于你眼前的这几个桌球来说，适用于它们的量子常数要大得多——几乎接近整数——所以你才能凭肉眼轻松观察到量子现象，要知道，平常科学家必须依靠非常灵敏的高精度观测手段才能看到这种现象。”说到这里，教授若有所思地沉默了片刻。“我无意批评，”他继续说道，“但我很想知道这些桌球他是从哪儿弄来的。严格地说，它们根本不可能存在于这个世界上，因为我们这个世界的所有物体都应该遵循同样的量子常数。”

“也许这些桌球是其他世界的舶来品，”汤普金斯先生提出了一种可能性，但教授并不满意。“你已经看到了，”他继续说，“这些球会‘弥散’。这意味着这张桌子上的位置并不确定。你不可能准确指明某个球的确切位置，充其量只能说，这个球‘有很大概率位于这里’，但‘也可能出现在那里’。”

“真是太奇怪了。”汤普金斯先生咕哝着说。

“恰恰相反，”教授反驳道，“这一点也不奇怪。从某种意义上说，所有物体都处于这种不确定的状态下。只是因为量子常数的值很小，我们日常的观测手段又太粗疏，人们才一直没有发现这件事。他们错误地认为，位置和速度都是确定的量。但实际上，这两个物理量都具有一定程度的不确定性，其中一个量越准确，另一个量就越弥散。量子常数控制的只是这两个量的不确定性之间的关系。——你瞧，我这就去找个木头三角框，把桌球放到里面，以此来限制它的位置。”

教授刚把球放进去，整个三角框里立即处处都是象牙色的影子。

“你看！”教授说，“我将桌球的位置限制在了三角框的范围内，这个空间的跨度大约只有几英寸，所以它的速度变得很不确定，桌球开始在框里高速运动。”

“你就不能让它停下来吗？”汤普金斯先生问道。

“不行——从物理上就不可能。封闭空间内的任何物体必然产生一定的运动——我们物理学家称之为‘零点运动’，例如任意原子内部的电子运动。”

桌球在三角框里左冲右突，就像笼子里的老虎一样，就在这时候，奇怪的事情发生了。框里的球突然穿过三角框“漏”了出去，下一秒钟，它已经滚向了球桌对面的角落。奇怪的地方在于，这颗球并没有离开桌面，它不是从框里“跳”出去的，而是径直“穿透”了木框。

“呃，瞧啊，”汤普金斯先生说，“你的‘零点运动’逃跑啦。这也符合量子定律吗？”

“当然。”教授回答，“事实上，这是量子理论最有趣的推论之一。如果物体拥有足以穿透壁垒逃逸的能量，你就不可能将它束缚在封闭的空间内。它早晚会‘穿透’障碍，扬长而去。”“那我再也不去动物园了。”汤普金斯先生断然表示，他已经在脑子里迅速描绘出了狮子和老虎从笼子里“漏”出来的生动画面。然后他的思绪突然拐了个奇怪的弯：他开始想象一辆汽车穿透墙壁从锁好的车库里“漏”出去的情景，就像中世纪的老好鬼魂一样。

“我得等多久才能看到，”他向教授询问，“一辆汽车从，呃，比如说，砖砌的车库里漏出去？当然，这辆车不是什么特殊材料制成的，它的原料就是普通的钢铁。我真想看看这样的画面！”

教授迅速心算了一番，然后告诉他：“这大概得等到1000000000……000000年以后吧。”

虽然汤普金斯先生早就习惯了银行账户里的天文数字，但教授刚才念的一长串零还是听得他晕头转向——不过他至少不用担心自己的车会偷偷溜走了。

“就算你刚才说的我照单全收，可我还是不明白，我们怎么才能观察到这种现象呢？我是说，假如没有这些奇怪桌球的话。”

“你的疑惑非常合理，”教授说，“当然，我绝不是说，你能在日常的宏观物体上观察到量子现象。但重点在于，对于原子或电子这类非常非常小的物体来说，量子定律产生的效应会变得明显得多。对这些粒子来说，量子效应的影响太大，普通的力学定律反而不适用了。两个原子之间的碰撞看起来和你刚才观察到的那两个桌球的碰撞几乎一模一样，原子内部的电子运动则类似刚才我放进框里那个桌球的‘零点运动’。”

“那么原子会经常从车库里漏出来吗？”汤普金斯先生问道。

“噢，会的。你肯定听说过放射性物质，这种物质的原子会自发破碎，释放出高速粒子。这样的原子——确切地说，是原子的核心部分，我们称之为原子核——就像一座车库，它内部的其他粒子就是停在库里的汽车。这些粒子的确会穿透原子核漏到外面——有时候它们甚至不肯在车库里待上一秒。对这些原子核来说，量子现象非常普遍！”

跟教授聊了这么半天，汤普金斯先生觉得很累，他开始漫无目标地环顾四周，他的目光落在了房间角落的一座老式座钟上面。古色古香的长钟摆正在慢悠悠地来回晃荡。

“你似乎对这口钟很感兴趣。”教授说，“事实上，它也代表着一种非同寻常的机制——只是现在已经过时了。这口钟代表着人们对量子现象最初的认识，它的钟摆采用了特殊的安装方式，你只能通过有限的步骤来扩大钟摆的振幅。但是现在，所有钟表匠人都更偏爱新的离散钟摆。”

“噢，要是我能弄明白这些复杂的事儿就好了！”汤普金斯先生叹道。

“很好。”教授回答，“刚才我正准备去学校做一堂关于量子理论的讲座，但我透过酒吧窗户看到你在里面，所以我才走了进来。现在我该动身啦，不然就得迟到了。你愿意和我一起去吗？”

“噢，我愿意！”汤普金斯先生回答。

和往常一样，大礼堂里挤满了学生，虽然汤普金斯先生只能在台阶上找个座位，但他还是很高兴。

女士们，先生们：

通过前面两次讲座，我试图向大家介绍，物理速度上限的发现和对直线定义的深入分析如何引领我们彻底重构了经典的时空观。不过，对物理学基础的批判性分析并未止步于此，事实上，我们已经有了一些更惊人的发现和结论。我指的是物理学中名为“量子理论”的分支，这套理论和时空本身的性质关系不大，它主要研究的是物体在时空中的运动和互动。经典物理学中有个不言自明的理想前提：两个互动物体的尺寸可以根据实验需求无限缩小，甚至可以缩小到零。比如说，研究某个特定过程产生的热量时，如果你担心温度计的引入可能带走部分热量，从而干扰目标过程的正常进程，那么实验者可以换个更小的温度计，甚至换成微型热电偶，借此将干扰降低到不会影响实验准确性的程度。

人们坚信，从原则上说，我们可以无限提高任意物理过程的观察精度，观察本身绝不会干扰实验结果；我们的信念如此强烈，以至于不曾有人费心对此做出明确的阐述，关于实验精度的所有问题都被归结为纯粹的技术障碍。但是，从20世纪初开始，日渐积累的大量观察事实迫使物理学家得出了一个新的结论：实际情况比我们原本以为的复杂得多，自然界中的确存在某种无法逾越的相互作用的下限。对于我们在日常生活中熟悉的所有过程来说，这个自然下限都小得可以忽略不计，但是，如果我们研究的是原子和分子这类尺度极小的系统的相互作用，自然下限的重要性就立即凸显出来。

1900年，德国物理学家马克斯·普朗克（Max Planck）在研究物质与辐射的理论平衡条件时惊讶地发现，这样的平衡不可能存在，除非我们假设物质与辐射的相互转换并不是像人们曾经认为的那样连续发生，而是由一连串独立的“小包裹”组成，这样的转换存在一个确定的基本能量单位。为了达到理想平衡，构建一套符合实际观察结果的理论，我们有必要引入一个简单的数学比例，用它来描述每个“小包裹”携带的能量和引发能量转移的过程的频率（逆周期）之间的关系。

因此，普朗克引入了比例系数“h”，能量转移的最小单位——或者说量子——可以表达为：

E=hν （1）

其中v代表频率。常数h的值为6.626×10⁻²⁷尔格·秒，人们通常称之为“普朗克常数”或“量子常数”。正是因为量子常数的值非常非常小，所以我们在日常生活中通常不会观察到量子现象。

几年后，在普朗克的基础之上，爱因斯坦进一步得出结论：定量离散的不光是物质释放的辐射，事实上，所有能量都由一定数量的离散的“能量包裹”组成，爱因斯坦称之为“光量子”。

由于光量子一直在运动，那么除了自身能量hv以外，它还应该具备一定的动量，根据相对论力学，光量子拥有的动量值等于它自身的能量除以光速c。再考虑到光的频率与波长之间的关系为v=c/λ，因此，一个光量子拥有的机械能应该表达为：

由于运动物体撞击产生的机械作用取决于它的动量，因此我们得出结论：光量子的波长越短，它的作用就越强。

光量子的概念及其能量与动量的描述是否正确，这方面最佳的实验证据来自美国物理学家阿瑟·康普顿（Arthur Compton）；他研究了光量子和电子之间的碰撞，最终得出结论：由光线激发的运动电子，其行为与粒子激发的电子完全相同，且该粒子的能量与动量完全符合上述方程的描述。与此同时，与电子发生碰撞后，光量子本身（的频率）也会发生一定的变化，而且这种变化完全符合理论预测。

现在我们可以说，就物质相互作用的层面而言，辐射的量子特性已经很好地得到了实验证明。

丹麦著名物理学家尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）对量子理论做出了进一步的拓展，1913年，玻尔首次提出，任何机械系统的内部运动只可能拥有一系列离散的能量值，它的运动状态只能通过有限的步骤加以改变，而且这个转换过程必然释放出一定量的能量。定义机械系统可能状态的数学规则比辐射模型复杂得多，我们在此不必深入讨论。我只想告诉大家，就像光量子的动量由光的波长决定一样，机械系统内部任何运动粒子的动量都取决于它所在空间的几何尺寸，因此，这些运动粒子的动量值可表达为：

式中的l代表粒子运动区域的线性尺寸。由于量子常数的值非常非常小，所以只有在原子和分子内部这样极小的空间中，运动的量子现象才会表现得格外明显，在我们深入了解物质内部结构的过程中，它扮演着非常重要的角色。

微观机械系统内部存在一个离散的状态序列，这方面最直接的证据来自詹姆斯·弗兰克（James Franck）和古斯塔夫·赫兹（Gustav Hertz）的实验，他们用各种能量的电子轰击原子，结果发现，入射电子的能量必须达到特定的离散值，原子的状态才会发生确切的变化。如果电子能量低于某个阈值，那么实验者无论如何都观察不到原子有任何变化，因为单个电子携带的能量不足以让原子从初始的量子态跃迁到下一个量子态。

因此，在量子理论发展的初始阶段，我们可以说，这套理论不是对经典物理学基本概念和原理的简单修正，反倒更像是某种人为的限制：经典物理认为运动是连续的，量子理论却从这种连续的状态中挑选出了一系列“被允许”的离散值来，这样的量子条件多少显得有些神秘。但是，如果我们深入探查经典力学定律与科学家通过实验观察到的量子条件之间的关系，那么你会发现，从逻辑上说，二者存在根本的矛盾，我们通过实验得出的量子约束条件推翻了经典力学的基本概念。事实上，按照经典理论的基本描述，在任意给定时刻，任何运动粒子必然在空间中拥有确定的位置和速度；它的位置会随时间而变化，从而产生一条轨迹。

位置、速度和轨迹的基本概念是经典力学这幢精妙建筑的基石，和我们熟悉的所有物理概念一样，它们来自我们对周围世界的观察和归纳；但是，随着我们求知的脚步不断前进，深入未知的新领域，这些概念也可能像经典时空观一样需要做出修正。

如果我随便找个人问问，你为什么相信任意运动粒子在任意时刻必然占据一个确定的位置，而且它的位置必将随着时间的流逝形成一条轨迹，那么他很可能回答说：“因为我亲眼看见，物体就是这样运动的。”我们不妨深入分析一下，“运动轨迹”这一经典概念到底是怎么形成的，看看这套方法是否必然得出一个确定的结果。为了达到这个目的，我们不妨想象一位物理学家，他试图利用世界上最灵敏的设备追踪从实验室墙上抛出的一个微型物体的运动。他决定通过“看”的方式观察物体的运动，因此他挑了一台高精度小型经纬仪。当然，要看到这个运动物体，首先他得把它照亮；这位物理学家知道，一般来说，光会对物体产生压力，从而干扰它的运动，于是他决定采用手电筒照明，只有在需要观察的那一刻才打光。第一次尝试的时候，他只想观察轨迹上的10个点，因此他挑了一支光线很暗的手电，哪怕连续照亮10次，它产生的总光压也不会超过观察精度允许的误差范围。在物体坠落的过程中，这位物理学家按亮了10次手电，最终以他希望的精度获得了轨迹上的10个点。

现在，他想重复这个实验，测量100个点。他知道100次连续照明会过度干扰物体运动，所以这一次，他选择的手电筒亮度只有原来的1/10。实验进行到第三轮，测量的点增加到了1000个，手电筒的亮度也变成了初始值的1/100。

就这样，物理学家不断降低照明亮度，通过这种方法，他可以测量物体运动轨迹上任意数量的点，而不会增加实验误差。这个过程十分理想化，但从原理上说完全可行，要“观察运动物体”，描绘它的运动轨迹，这是一种十分符合逻辑的方法；如你所见，在经典力学的框架下，这种方法完全能够实现。

但是现在，如果引入量子下限，再考虑到任何辐射都只能以光量子的形式传递，我们看看这时候会发生什么。在刚才的实验中，观察者不断降低照明光源的亮度，但在引入了新的限制条件之后，当光源亮度降低到一个量子以后，他就没法进一步降低亮度了。运动物体要么被这一个光量子照亮，要么完全不会反射任何光，而在第二种情况下，观察根本无法进行。当然，我们已经看到，光量子碰撞产生的效果会随着波长的增加而减弱，我们的观察者也深知这一点，所以他肯定会尽量增大光源波长，借此提升观测点的数量。但是这样一来，他又会遇到另一个障碍。

众所周知，在特定波长的光线下，你不可能看到尺寸小于光波波长的细节，这就像你不可能用粉刷匠的刷子画出波斯细密画来！因此，随着光源波长不断增大，实验者观察到的物体位置会变得越来越不精确，要不了多久，测量结果的误差就会变得跟实验室自身的尺寸差不多大了。因此，我们的物理学家必须在观察点的数量和每次观察的准确度之间做出妥协，他也永远不可能获得足够数量的点，画出一条数学意义上的精确轨迹，就像经典理论要求的那样。他能得到的最好的结果无非是一条宽而模糊的条带，这条基于实际实验画出的轨迹显然和经典定义下的“轨迹”很不一样。

刚才我们讨论的测量方法基于视觉观察，接下来我们可以试试另一种可能性，利用机械方法测量物体运动轨迹。为了达到这个目的，我们的实验者可以设计一种小型机械装置，譬如挂在弹簧上的小铃铛，它能记录从附近经过的物体的运动路径。实验者可以在物体即将行经的空间中挂满这样的“铃铛”，物体开始运动以后，“铃声”会暴露它的轨迹。在经典物理学框架下，这些“铃铛”可以做得无限小、无限灵敏，有了无限多个无限小的铃铛，我们自然能以无限高的精度绘制出经典物理学意义上的运动轨迹。但是，机械系统的量子约束条件将再次破坏我们的美梦。如果“铃铛”的尺寸太小，那么根据方程式（3），它从运动物体处获得的动量就会变得太大，那么哪怕只有一个铃铛被碰响，这也将严重干扰物体的运动。反过来说，要是铃铛的尺寸太大，那么每个观测点测得的位置的不确定性也会变得很大，最终我们获得的轨迹依然是一条弥散的条带！

刚才我讲的这些观察绘制物体运动轨迹的方法可能技术性太强，也许你会觉得，就算我们的观察者不能通过这些简单的工具准确绘制轨迹，也总有别的更精密的设备能帮助他达成目标。但我必须提醒你，刚才我们讨论的不是某个物理实验室里的具体实验，而是理想化的最常用的物理测量方法。测量工具与被观察物体互动的方式无非两种：一种是辐射类的，譬如我们在第一个实验中用来照明的光；另一种是机械类的，例如第二个实验里的铃铛。只要你采用的测量方式不超出这两个大类的范围，它必然可以简化为上述两种模型之一，最终我们也必然得出同样的结果。既然这两种理想“测量装置”涵盖了物理世界的所有可能性，那么我们最终得出结论：在量子力学的领域里，所谓的“准确位置”和“精确轨迹”根本就不存在。

现在，我们不妨和这位物理学家一起，试着用数学表达式来描述量子约束条件。我们已经看到，无论采用哪种方法，对物体位置的测量必然干扰它的运动速度。如果采用视觉测量的办法，那么根据动量守恒定律，光量子的碰撞会让粒子的动量产生一定的不确定性，其大小与光量子本身的动量相当。所以利用方程式（2），我们可以将该粒子动量的不确定性表达为：

别忘了，该粒子位置的不确定性取决于光的波长（△q≈λ），由此推出：

△p_粒子×△q_粒子≈h （5）

若是采用机械方式来测量，运动粒子动量的不确定性取决于“铃铛”获取的动量值。利用方程式（3），再考虑到运动物体位置的不确定性取决于铃铛尺寸（△q≈l），我们最终得出的方程和第一个例子完全一样。因此，德国物理学家维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）首次提出的方程式（5）描述了量子理论的基本不确定性关系——你对物体位置测量得越准确，它的动量就越不准确，反之亦然。

考虑到动量取决于运动粒子的质量和速度，我们可以说：

对于我们在日常生活中经常接触的物体来说，这个值小得离谱。比如说，如果一粒花粉的质量是0.0000001克，那么我们测得的它的位置和速度的精度都能达到0.00000001%！不过对于质量只有10⁻²⁷克的电子来说，△v×△q差不多能达到6.6厘米²/秒。原子内部的电子速度至少应该达到±10⁸厘米/秒的精度，否则它就会从原子中逃逸出去，这样一来，电子位置的不确定性必然小于10⁻⁸厘米，这正好相当于一个原子的尺寸。因此，原子内部电子的“运动轨道”必然呈弥散的雾状，其轨迹“厚度”正好等于轨道“半径”。所以电子看起来就像同时出现在原子核周围的所有位置一样。

刚才的20分钟里，我一直试图向你介绍我们对经典运动概念的批判分析带来的灾难性后果。简洁优雅的经典定义彻底崩塌，取而代之的是一锅不成形状的糊糊。你可能很自然地想问我，在这片不确定性的汪洋大海中，物理学家到底打算怎么描述各种现象。很遗憾地告诉你，我们现在虽然已经摧毁了经典的概念，但还没有来得及构建准确的新概念。

不过我们应该尝试一下。由于运动粒子的位置和轨道都处于弥散的状态下，无法用数学意义上的点和轨迹来描述，那么显而易见，我们应该想一些别的办法来描述这锅“糊糊”在空间中不同位置的密度。从数学角度来说，我们可以利用连续函数（就像流体力学那样）；从物理角度来说，我们可以采用这一类的表达：“这件物体有很大概率位于这里，但也可能出现在那里，甚至更远的地方”或者“这枚硬币有75%的概率出现在我的衣兜里，还有25%的概率出现在你的衣兜里”。我知道，听到这些句子你恨不得转头就跑，但是，由于量子常数的值很小，这样的表达你在日常生活中永远都用不上。不过，要是你想研究原子物理，那我强烈建议你先习惯这样的表达。

在此我必须警告你，“描述‘存在密度’的函数在我们日常的三维空间中具有物理意义”，这是一个错误的观念。事实上，要想描述，呃，比如说两个粒子的行为，那么首先，你必须分别描述这两个粒子在同一时刻的位置；要完成这个目标，我们必须使用一个拥有六个变量（每个粒子需要三个坐标）的函数，它可没法“具体落实”到三维空间中。系统越复杂，函数的变量就越多。从这个意义上说，“量子力学函数”约等于经典力学粒子系统中的“势函数”或者统计力学系统中的“熵”。它只能描述运动，并帮助我们预测给定条件下特定运动的结果。只有我们描述的粒子运动才具备实际的物理意义。

以一定精度描述粒子或粒子系统位置的函数需要一个数学符号来代表，奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）第一次写出了定义这类函数的方程式，他采用的数学符号是“ΨΨ”。

我并不打算在这儿深入介绍薛定谔基本方程的数学证明过程，但我必须提醒大家注意，物理学家为什么要引入这个符号。他们当然有很多理由，但其中最重要的一条理由十分出人意表：方程必须写成一种特殊的形式，在这种形式下，描述物质粒子运动的函数应该表现出波的所有特质。

物质粒子的运动必须拥有波的特性，这最初是由法国物理学家路易·德布罗意（Louis de Broglie）基于对原子结构的理论研究而提出的。接下来的几年里，大量实验确凿无疑地证明了物质粒子的运动的确拥有波的特性，比如说，电子束在穿过小豁口的时候会发生衍射，就连分子这样相对较大的复杂粒子也会发生干涉现象。

物质粒子为什么会表现出波的特性？经典的运动概念绝对无法解释这样的现象，德布罗意被迫提出了一个不太自然的观点：粒子总是“伴随”着特定的波，或者可以说，这些波“指引”着粒子运动。

不过，经典概念被推翻以后，我们开始用连续的函数来描述运动，对波的特性的需求就变得容易理解多了。这只能说明，“ΨΨ”函数的传播不同于（比如说）热量在单侧加热的墙壁中的传播，而更类似机械形变（声音）在墙壁中的传播。从数学角度来说，我们需要的是一个形式相当严格的准确方程。考虑到这样的基本情况，再加上一个额外的需求：对于量子效应不明显的大质量粒子来说，我们的方程应该和经典力学方程保持一致，最终我们发现，寻找这个方程实际上是个纯粹的数学问题。

如果你想知道这个方程的终极形态，我可以写给你看看：

在这个方程中，函数U代表作用于粒子（质量为m）的力的势，对于任意给定分布的力造成的运动，U给出了一个确定的解。“薛定谔波动方程”（即方程7）问世后的四十年里，物理学家利用它为原子世界里发生的所有现象描绘了一幅最完备、最自洽的图景。

有的人可能想问，人们在讨论量子理论时常常提起“矩阵”，但我为什么直到现在都没说过这个词儿。我必须承认，我个人不太喜欢矩阵，所以我会尽量避开它们。不过，为了让你不至于完全错过这件研究量子理论的数学工具，我还是决定说上一两句。正如你已经看到的，粒子或者复杂力学系统的运动总能描述为特定的连续波函数。这些函数通常相当复杂，但它们可以转化为一组相对简单的振动，即所谓的“本征函数”，就像一个复杂的声音可以拆解为一系列简单的谐波音调一样。

你可以用不同组件的振幅来表达整体的复杂运动。由于组件（泛音）的数量是无限的，所以每个组件对应的振幅只能写成一张无限长的表格：

q₁₁ q₁₂ q₁₃ ……

q₂₁ q₂₂ q₂₃ ……

q₃₁ q₃₂ q₃₃ ……

…………

这样的表格遵从的数学运算规则相对比较简单，它就是给定运动的“矩阵”。有的理论物理学家更偏爱矩阵，不愿意直接使用原始的波函数，所以他们有时候会用“矩阵力学”这个词儿取代“波动力学”，但前者其实只是后者的数学表达形式；本系列讲座主要介绍的是物理学原理而非数学，所以我们不必深入探究这方面的问题。

很抱歉，由于时间所限，我无法继续介绍量子理论后来的发展以及它与相对论之间的关系。这方面的进展主要应该归功于英国物理学家保罗·阿德里安·莫里斯·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac），他提出了很多非常有趣的观点，也引领我们在实验中做出了一些十分重要的发现。改天我们或许有机会回过头来讨论这些问题，但是现在，我必须停下来了。希望本系列讲座能帮助你更清晰地了解当今物理世界，并激励你关注未来的研究。