八、棕榄谜

（一）

在本年七月十三日的《申报本埠增刊》里载着一幅很大的广告，是美商上海棕榄公司的，现在择要抄在后面。

游戏规则：

（1）一切规则均参照雀牌^[27]。棕榄香皂四字代替东南西北；珂路搿^[28]三字代替中發白；棕榄香皂、丝带牌牙膏及棕榄皂珠之三种图形则代替筒条万。

（2）按照雀牌规则，由本公司总经理先生及华经理马伯乐先生在下图五十六只中，捡出十四只排定和牌一副，送至上海银行封存租定之第三四一零号保管箱中，至开奖时请公证人启视，以昭郑重。

（3）参加游戏者亦只可在下图五十六只中捡出十四只排成和牌一副，如与本公司所排定之和牌完全相同，则赠送上图一式之无线电收机音一座。

（4）本公司备同样收音机十座，作为赠品，仅以十座为限。如猜中者超过十人，则再用抽签法决定之……

（5）参加游戏须附寄大号棕榄香皂绿包纸及黑纸带各一，空函无效。每人以四猜为限，每猜均须纸带各一。

有几位朋友和我谈起这“棕榄谜”的时候，他们总随口就问：“从这五十六只中捡用十四只排定和牌一副，究竟有多少种排法？”这本来只是数学上的一个计算问题，但要回答一个确数，却不容易。倘若读者先想定一个答数，读完这篇东西时再来比较，我相信大多数的人会吃惊不已的。

初学数学的人常常会提出这样的问题：“一个题目到手，应当怎样想法呢？”因为他们见到别人解答题目好似不费什么力，便觉得这里面一定有什么秘诀。其实科学中无所谓秘诀，要解答题目，只有依照一定的程序去思索；思考力经过相当训练的，这程序能够应用得比较纯熟，就使别人易于感到神妙了。学问本是严正的东西，并非变戏法，哪有什么神奇奥妙？

本文目的：一是说明数学中叫作组合（Combination）的这一种法则；二是说明思索数学题目的基本态度。平常我们在数学教科书中所遇到的问题都是编者安排好了的，要解答总有一定的法则可以应用，思索起来也比较简单。这里所用的这个题目既不是谁先安排定的，用来说明思索的态度比较更可周到些。不过头绪繁复，大家得耐着性儿，死书以外的题目没有不繁复的呀。

（二）

一个题目到手，在思索怎样解答以前，须对它有明确的认识。这题目中所含的意义是什么？已知的事项是什么？所要求出的事项是什么？这些都得辨别清楚，这是第一步。常常见到有些性急朋友，题目还只看到一半，便动起手来，这自然不会做得对的。假如我的经验可靠，那么不但先要认清了题目，而且还须将它记住，才去想；对题思索，在思索的进展上往往有许多纷扰生出来的。

认清题目以后，还有一步工作也省不来的，那就是问一问“这题目是可能的吗”？数学上的题目，很有些是表面上看去非常容易，而一经着手便束手无策的。初等几何中的“三等分任意角”，代数中的“五次方程式——其实是五次以上的——一般的解法”，这些最后都归到不可能的领域中了。

所谓题目的不可能，一种是主观的能力，一种是客观的条件。只学过算术的，三减五是不可能，这是第一种。三等分任意角，这是第二种。因为初等几何的作图，只许用没有刻度的尺和两脚规两种器械。此外还有一种不可能，便是题目所给的条件不合或缺少，比如“鸡兔同笼共三十个头，五十只脚，求各有几只”，这是条件不合，因三十只全是鸡也得有六十只脚。至于条件缺少，当然是不可能的。有一次我和孩子背九九乘法表，自然他对我只有惊异，但是他很顽皮，居然要制服我，忽然这样问道：“你会算，一间房子有几片瓦？”这我当然回答不上来了。这是条件不够。我只能够在知道一间房子有几行瓦，每行有几片的时候算它的总数。

判定一个题目是否可能，照这里所说的看来，是解题以前的工作。但有些题目要判定它的不可能，而且还出一个所以不可能的理由来，比解答题目并不一定容易；即如“三等分任意角”这一类就是经过不少的人研究才判定的。所以这里所说的只限于比较易于判定的范围，在这个范围内，能够判定所遇到的题目是否可能——主观的或客观的——这在学数学的人是同着解答问题一样重要。自然对于好的——编制和印刷上——教科书，我们可以相信那里面的题目总是可能的，遇到题目就向积极方面去思索，但这并不是正当的途径。

（三）

所遇到的题目，经过一番审度已是可能的了，自然就是思索解答的方法。这种思索有没有一定的途径可循呢？因了题目的不同，要找一条通路，那是不可能的，不过基本的态度却可以说一说。用了这样的态度去思索题目的解法，虽不能说便可以迎刃而解，但至少不至于走错路，若果有了相当的训练，还能够不至于多绕不必要的弯儿。

解答一个题目，需要的能力有两种：一是那题目所包含的一些事实的认识，一是解那题目所需的数学上的法则的理解。例如关于鸡兔同笼的题目，鸡和兔每只都只有一个头，鸡是两只脚，兔是四只脚，这是题目上不曾说出而包含着的事实。倘若对于这些事实认识不充足，对于这类的题目便休想动手。至于解这个题目要用到乘法、减法、除法，若对于这些法则的根本意义不曾理解，那也是束手无策的。

现在我们转到“棕榄谜”上去。然而先得说明，我们要研究的是究竟有多少猜法，而不是怎样可猜得中——照数学上说来，差不多是猜不中的，即使有人猜中，也只是偶然的幸运。

我们要解答的题目是：

在所绘的五十六只牌中照雀牌规则捡出十四只来排成和牌一副，有多少种捡法？

这题目的解答就客观的条件说当然是可能的，因为从五十六只牌中捡出十四只的方法有多少种，这有法则可以计算。在这些种数中只要减去了照“雀牌规则”排不成和牌的那些种的数目就行了。客观的条件既是可能的，那么，我们就尽量使用我们的能力吧。

解答这个题目我们首先须知道的是些什么呢？

从事实上说，应当知道照雀牌的规则，怎样叫作一副和牌。

从算理上说，应当知道从若干东西中取出多少来的方法，应当怎样计算法。

（四）

我相信所谓雀牌，读者当中十分之九是认识的，所以这里不来说明了。至于怎样玩法，知道的也许没有这般普遍，但这里既非编雀牌讲义，也用不到说。只有所谓一副和牌非说明不可。

十四只牌，若可凑成四组三只的和一组两只的，这便是和了。为什么说凑成呢？因为并不是随便三只或两只都有成为一组的资格。照雀牌规则，三只成一组的只有两种：一是完全相同的；二是花色——如所谓筒、条、万——相同而三数连续的，如一、二、三筒，二、三、四条，三、四、五万等。至于两只成一组的，那只有对子才能算数。

以所绘的五十六只为例，那么“棕棕棕，榄榄榄，香香香，皂皂皂，珂珂”便是一副和牌，而图中的十二只香皂再任意配上别的一对也就是一副和牌，因为十二只香皂恰可排成“一一一、二三四、五六七、七八九”四组。

（五）

从若干件东西中捡取多少件的方法，应当怎样计算呢？比如你约了九个朋友，一共十个人，组织一个数学研究会，要推两个人做干事，这有多少方法呢？

假如你已看过从前中学生的《数学讲话》，还记得起所讲过的排列法，那么这便容易了。假设两个干事还分正副，那么这只是从十件东西中取出两件的排列法，它的总数是：

A²₁₀=10×9=90

但是前面并没有说过分正副的话，所以在这九十种中，王老三当正干事，李老二当副干事，同着李老二当正干事，王老二当副干事，在本题只能算一种。因此从十个人当中推两个出来当干事，实际的方法只是：

A²₁₀÷2=90÷2=45

同样地，假如你要在A、B、C、D……二十六个字母中，取出两个来做什么符号，若所取的次序也有关系，AB和BA以及BC和CB……两两不相同，则你的取法共是：

A²₂₆=26×25=650

若所取的次序没有关系，AB和BA以及BC和CB……就两两相同，各各只能算成一种，则取法共是：

A²₂₆÷2=650÷2=325

由此可以推到比较一般的情形去，从n件东西里面取出两个来的方法，不管它们的顺序，则一共的取法是：

到了这一步，我们的讨论还只得一半，因为所取的东西都只有两件，若是三件怎样呢？在你组织的数学研究会中，若是举的干事是三人，一共有多少选举法呢？

假定这三个干事的职务不同，比如说一个是记录，一个是会计，一个是庶务，那么推选的方法便是从十个当中取出三个的排列，而总数是：

A³₁₀=10×9×8=720

但若并不管职务的差别，则张、王、李三个人被选出来后，他们无论对于三种职务怎样分担都是一样的，只好算得一种选举法。因此我们应当用三个人三种职务分担法的数目去除前面所得的720，而三个人三种职务的分担法一共是：

A³₃=3×2×1=6

所以从十个人中选出三个干事的方法共是：

同样地，若从A、B、C、D……二十六个字母中取出三个，不管它们的顺序，则总数是：

因为在A³₂₆的各种排列中，每三个字母相同只有顺序不同的，如ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA只能算成一种，就是A³₃当中的各种只算成一种。

从这里我们可以看出来，前面计算取两个的例子，我们用2作除数，在算理上实在应当是：

A²₂=2×1=2

于是我们可以得出一般的公式来，从n件东西中，取出m件的方法应当是：

（1）

若用C^m_n来代替“从n件东西中取m件”的总数，则

（1'）

这个公式便是一般的计算组合的式子，为了便当一些，我们还可以将它的形式变更一下；

因为：

所以：（2）

举个例子说，若在十八个球员中选十一个出来和别人比赛，推举的方法一共便是：

这是依照了公式（1）计算的，实际我们由公式（2）计算更简捷些，

因为：

所以：

C^m_n=C^n-m_n这个性质，从实际推想起来，非常有趣味。前面是说从n件里面取出m件，后面是说从n件里面取出n-m件，这两样的数目当然是一样的。你若要追问怎样说是“当然”，那么，你可以这样想：比如一只口袋里面装有n件小玩意儿，你从口袋里摸出m件，那里面所剩的便是n-m件。你的摸法不同，口袋里的剩法也不同。你有若干种摸法，口袋里便跟了有若干种剩法。摸和剩完全是就你自己的地位说的，就东西说，不过分成两组，一在口袋外，一在口袋里罢了。那么取和舍的方法相同不是当然的吗？

组合的基本计算不过这么一回事，但这里有一点应当注意，上面所说的n件东西是完全不相同的，若其中有些相同，计算起来便有些不一样了。关于这一层，读者倘若还要知道得更详细些，最好自己去想一想，不然请看教科书去吧。

归到“棕榄谜”上去，假如五十六只全不相同，那么捡出十四只的方法便是：

C¹⁴₅₆=5804731963800

（六）

照理论说，既已知道从五十六只全不相同的牌中取出十四只的方法的数目，进一步将因相同而重复的数目以及不成一副和牌的数目减去，便得所求的答案了。然而说说容易，做起来却不简单。实际上要计算不成一副和牌的数目，比另起炉灶来计算能成一副和牌的数目更繁杂。我们另走一条路吧！

照雀牌的规则仔细想一想，每一只牌要在一副和牌中能占一个位置，都必得和别的牌联络，六亲无靠是只有被淘汰的。因此，我们研究和牌的形式正不必从每一只上去着想，而可改换途径用每一组做单元。

那么，所绘的五十六只牌中，三只或两只一组，能够有多少组是有资格参加到和牌里去呢？

要回答这个问题，我们先将所有的材料来整理一下，五十六只中，就花色说，数目的分配是这样的：

（1）字：

棕3 榄3 香3 皂3 珂3 路3 搿4

（2）花色：

	一	二	三	四	五	六	七	八	九
香皂	3	1	1	1	1	1	2	1	1
牙膏	1	1	1	1	1	1	1	1	3
皂珠	3	1	1	1	1	1	1	1	1

这些材料照雀牌规则可以组成三只组和二只组的数目如下：

（1）字：

（a）三同色组：棕、榄、香、皂、珂、路、搿各1组，共7组

（b）三连续组：无

（c）对子组：棕、榄、香、皂、珂、路、搿各1组，共7组

（2）花色：

	香皂	牙膏	皂珠
（a）三同色组	1组	1组	1组
（b）三连续组	7组	7组	7组
（c）对子组	2组	1组	1组

各组数目的计算，三同色组和对子组是就已有的材料一望就可知道的，只有三连续组，就是从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个自然数中取三个连续数的方法。关于这一种数目的计算和前面所说的一般的组合法显然不同。这有没有一定的公式呢？直截了当地回答“有”。

设若有n个连续的自然数，要取2个相连续的，那么取的方法一共就是：

[n-(2-1)]=n-2+1=n-1

因为从第一个起，将第二个和它相连得一种，接着我们将三个去换第一个又得一种，再将第四个去换第二个又得一种，依次下去，最后是将第n个去换第n-2个。所以n个中除去第一个外，共有n-1个都可和它们前面一个相连成一种，因而一共的方法便是n-1种。为什么上面的式子劈头我们要写成n-(2-1)呢？因为每组要两个，全数中就有一个是没有前面的数供它连上去的。

由此可以知道，在n个连续的自然数中，要取3个连续数的方法共是：

[n-(3-1)]=n-3+1=n-2

因为是3个一组，所以顶前面便有（3-1）个没有前面的数供它们连上去。

由这个公式，9个连续的自然数中，要取3个连续数的方法便是：

[9-(3-1)]=9-3+1=7

上面的公式推到一般去，就是从n个连续的自然数中取m个连续数的方法，一共是：

[n-(m-1)]=n-m+1

（七）

照前面计算的结果，三只组一共是31组，对子组一共是11组，而一副和牌所包含的是四个三只组和一个对子组。我们很容易想到只要从31组三只组中取出4组，再从11组对子组中取出1组，两相配合，便成一副和牌。而三只组的取法共是C⁴₃₁，对子组的取法共是C¹₁₁。因为两种取法中的任何一种都可以同其他一种中的任何一种配合，所以总数便是：

然而这个数目太大了，因这些配合法就所绘的材料说有些是不可能的。从31组三只组中取4组的总数是C⁴₃₁，但因了材料的限制，实际上并不能这么自由。比如取了香皂的三同色组，则它的三连续组中的“一二三”这一组就没有了；若取了三连续组中的“一二三”这一组，则“二三四”和“三四五”这两组也没有了。还有将对子配上去，也不是尽如人意的事，既取了某一种的三同色组，则那一色的对子组便没有了，又如取了香皂的“五六七”或“六七八”或“七八九”，则香皂“七”的对子组也就没有了。

从上面所得的346115种中减去这些不可能的数，那么便是我们所要求的了。然而要找这个减数，依然很繁杂。

还有别条路径吗？

（八）

为了要避去不可能的取法，我们试就各种花色分开来取，然后再相配成四组。

（1）字：这类的三只组一共是7组，所以取一组、二组、三组、四组的方法相应地是：

（2）花色：

		香皂	牙膏	皂珠
一组	含三同色的	1	1	1
	不含的	7	7	7
二组	含三同色的	6	6	6
	不含的	11	10	10
三组	含三同色的	7	6	6
	不含的	3	1	1
四组	含三同色的	1	0	0
	不含的	0	0	0

这个表中只取一组的数目是用不到计算就可知道的，取二组的数目两项的计算法如下：

（a）含三同色组的：本来一种花色只有一组三同色组，所以只需从三连续组中任取一组同它配合便得了。不过7组三连续组当中有一组是含一（香皂和皂珠）或九（牙膏）的，因为一或九已用在三同色组中，不能再有。因此只能在6组中取出来配合，而得1×C¹₆=6。

（b）不含三同色组的：就香皂说，可以分别计算如下：

（Ⅰ）含“一二三”组的：这只能从4、5、6、7、8、9，六个连续的自然数中任取一个三连续组同它配合，依前面的公式得6-3+1=4。

（Ⅱ）含“二三四”组的：照同样的理由共有5-3+1=3。

（Ⅲ）含“三四五”组的：4-3+1=2。

（Ⅳ）含“四五六“组的：和（I）中相同的不算，共是3-3+1=1。

（Ⅴ）含“五六七”组的：和上面相同的不算，只有“七八九”一组和它相配，所以也是1。

五项合计就得4+3+2+1+1=11。

但就牙膏和皂珠说（Ⅴ）这一组是没有的，因此各个只有10组。

取三组的计算法，根据了取二组的数目便可得出：

（a）含三同色组的：就香皂说，取（Ⅱ）到（Ⅴ）各组中的任一组和三同色组配合便是，所以总数是7。在牙膏或皂珠因为缺少（Ⅴ）这一项，所以总数只有6。

（b）不含三同色组的：就香皂说，可分成几项如下：

（Ⅰ）含“一二三”组的：只有前面的（Ⅳ）和（Ⅴ）中各组相配合，所以总数是2。

（Ⅱ）含“二三四”组的：只有前面的（Ⅴ）可配合，所以总数是1。两项合计便是3。

但就牙膏或皂珠说，都只有“一二三”“四五六”“七八九”1种。

至于四组的取法，这很容易明白，用不到计算了。

（九）

照雀牌的规则，一副和牌含有四组三只组，我们现在的问题便成了就前面所列各种的组织来相配。为了研究的便利，用含有字组的多少来分类，这比较容易明白些。

（1）四组字的

这一种很容易明白就是：C⁴₇=35

（2）三组字的

三组字的取法共是C³₇，将每种和花色中的任一组相配就成了四组，而花色中共是24组，所以这种的总数是：(https://www.daowen.com)

C³₇×C¹₂₄=35×24=840

（3）二组字的

二组字的取法共是C²₇，将花色组和它配成四组，这有两种办法：

（a）两组花色相同的（同是香皂或牙膏或皂珠）：只需在两组花色的取法中任用一种相配合。而两组花色相同的取法共是6+11+6+10+6+10=49，所以配合的总数是：

C²₇×C¹₄₉=21×49=1029

（b）两组花色不同的：这就是说在香皂、牙膏、皂珠三种中，任从两种中各取一组和两组字相配合。第一步，从三种中任取二种的方法共是C²₃。而每一项取法中，各种取一组的方法都是C¹₈，因此配成两组的方法是C¹₈×C¹₈，由此便可知道总共的配搭法是：

C²₇×C¹₈×C¹₈×C²₃=21×8×8×3=4032

（4）一组字的

一组字的取法共是C¹₇，须将三组花色同它们配合，这便有三种配合法：

（a）三组花色相同的：花色三组全同的取法，一共是7+3+6+1+6+1=24，在这24种中任取一组和任意一组字配合的方法是：

C¹₇×C¹₂₄=7×24=168

（b）两组花色相同的：若是从香皂中取两组，在牙膏或皂珠中取一组，配合的方法都是C¹₁₇×C¹₈，所以共是C¹₁₇×C¹₈×2。但若从牙膏中取两组，而在香皂或皂珠中取一组，配合的方法都是C¹₁₆×C¹₈，所以共是C¹₁₆×C¹₈×2。从皂珠中取两组的配法自然也是C¹₁₆×C¹₈×2，由此，这一类花色的取法共是：

C¹₁₇×C¹₈×2+C¹₁₆×C¹₈×2+C¹₁₆×C¹₈×2

=（C¹₁₇+C¹₁₆+C¹₁₆）×C¹₈×2=C¹₄₉×C¹₈×2

将这中间的任一种和任一组字配合就成为四组，而配合法共是：

C¹₇×C¹₄₉×C¹₈×2=7×49×8×2=5488

（c）三组花色不同的：这只能从香皂、牙膏、皂珠中各取一组而配成三组，所以配合法只有C¹₈×C¹₈×C¹₈，再同一组字相配的方法是：

C¹₇×C¹₈×C¹₈×C¹₈=7×8×8×8=3584

（5）无字组的：这一种里面，我们又可依了含香皂组数的多少来研究。

（a）四组香皂的：前面已经说过这只有1种。

（b）三组香皂的：香皂的取法是10种，每一种都可以同一组牙膏或皂珠配合，而牙膏和皂珠取一组的方法是C¹₁₆，所以一共的配合法是：C¹₁₀×C¹₁₆=10×16=160

（c）两组香皂的：这有两种配合法：（Ⅰ）是同两组牙膏或皂珠相配；（Ⅱ）是牙膏和皂珠各一组相配。（Ⅰ）的配合法共是C¹₁₇×C¹₁₆×2，（Ⅱ）的配合法是C¹₁₇×C¹₈×C¹₈，所以一共是：

C¹₁₇×C¹₁₆×2+C¹₁₇×C¹₈×C¹₈=17×16×2+17×8×8=1632

（d）一组香皂的：这也有两种配合法：（Ⅰ）同三组牙膏或皂珠相配。（Ⅱ）同两组牙膏一组皂珠或一组牙膏、两组皂珠相配。（Ⅰ）的配合法是C¹₈×C¹₇×2，（Ⅱ）的配合法是C¹₈×C¹₁₆×C¹₈×2，所以一共是：

C¹₈×C¹₇×2+C¹₈×C¹₁₆×C¹₈×2=8×7×2+8×16×8×2=2160

（e）没有香皂的：这有三种配合法：（Ⅰ）三组牙膏一组皂珠，配合法是C¹₇×C¹₈；（Ⅱ）两组牙膏、两组皂珠，配合法是C¹₁₆×C¹₁₆；（Ⅲ）一组牙膏三组皂珠，依同理配合法是C¹₈×C¹₇，所以一共是：

C¹₇×C¹₈+C¹₁₆×C¹₁₆+C¹₈×C¹₇=56+256+56=368

到了这里我们可以算一笔四组配合法的总账，这不用说只是一个小学生都会算的加法。虽然如此，还得写出来：35+840+1029+4032+168+5488+3584+1+160+1632+2160+368=19497

到这里百尺竿头，我们只差一步了。在这19497种中各将一个对子配上去，便成了和牌。

（十）

就所有的材料说，一共有11个对子，倘使材料可以自由使用，因每一种四个三只组同任一对相配都成一副和牌，所以总数应当是：

19497×C¹₁₁=214467

然而这214467副牌中有些又是不可能的了。含着某一种三同色组的，那一色的对子便没有。而含有香皂“五六七”“六七八”“七八九”中的一组的，香皂七的对子也没有了。这么一想，配对子上去也不是一件简单的事呀。因了这个原因，计算配对子的方法还得如前面一般地分别研究。字的变化比较少而且规则单纯，所以仍然以含字组的数目为标准来分类。

（1）四组字的

在这一种里面，因为用了四种字，所以每副只有3个字对子可配合，但4种花色对子却全可配上去。因此每种都有7个对子可配而成七副和牌，一共可成的和牌数便是：C⁴₇×7=35×7=245

（2）三组字的

这一种里面，因为用了三种字，所以字对子每副只有4个可配，而花色对子的配合法比较复杂，得另找一个头绪计算。单就配字对子的说，总数是：

C³₇×C¹₂₄×4=840×4=3360

凡是含有香皂或牙膏或皂珠的三同色组的，那一种花色的对子便不能有，所以每副只有3个花对子可配合。而含三组字同着一组花色三同色组的，共是C³₇×3，因此可成功的和牌数是：

C³₇×3×3=35×9=315

凡不含香皂、牙膏和皂珠的三同色组的，一般地说来，每副都有4个花色对子可配；只有含香皂“五六七”“六七八”“七八九”三组中的一组的，少了一个香皂的对子七。花色的三连续组取一组的方法共是C¹₂₁，和字三组的配合法便是C³₇×C¹₂₁，将花色对子分别配上去的总数是C³₇×C¹₂₁×4，而内中有C³₇×C¹₃种是含有香皂七的，少一对可配的对子，所以这一种能够配成和牌的数目是：

C³₇×C¹₂₁×4-C³₇×3=35×21×4-35×3=2835

（3）二组字的

这一种里面，依前面所说过的同一理由，每一副有5个字对子可配合，这样配成的和牌的数目是：

（C²₇×C¹₄₉+C²₇×C¹₈×C¹₈×C²₃）×5=（1029+4032）×5=25305

对于花色对子的配合，因了所含花色的三只组的情形不同，可分成以下三项：

（a）含一组香皂或牙膏或皂珠的三同色组的，一般地说有3个花色对子可配。而三只组的配合法是：（Ⅰ）两组花色相同的C²₇×C¹₁₈；（II）两组花色不同的C²₇×1×C¹₇×C²₃。一共就是C²₇×C¹₁₈+C²₇×1×C¹₇×C²₃，将3个花色对配上去，共是：

（C²₇×C¹₁₈+C²₇×1×C¹₇×C²₃）×3=2457

不过含有香皂七的，依然少一对可配合，应当从2457中将这个数减去。而它是C²₇×C¹₃×C¹₃=189，这里第一个C¹₃是花色中三同色组取一组的方法。第二个C¹₃是香皂中的“五六七”“六七八”“七八九”三个三连续组取一组的方法，所以这一项一共可成的和牌数是2457-189=2268

（b）含两组香皂、牙膏、皂珠三同色组的，每副只有2个花色对子可配合，可成的和牌数是：

C²₇×C²₃×2=126

（c）不含香皂、牙膏、皂珠三同色组的，一般地说有4个花色对子可配合，而总数是：

（C²₇×C¹₃₁+C²₇×C¹₇×C¹₇×C²₃）×4=14952

这里面自然也要减去没有香皂七的对子可配合的数。这种数目：（Ⅰ）就两组花色相同的说是C²₇×10=210，因为在香皂中，不含三同色组的两组的取法虽有11种，而除了“一二三，四五六”一种外都是含有香皂七的；（Ⅱ）就两组花色不同的说是C²₇×C¹₃×C¹₇×2=882，C¹₃是从香皂的“五六七”“六七八”“七八九”三组中取一组的方法，C¹₇是从牙膏或皂珠中取一组三连续的方法，而对于牙膏和皂珠的情形完全相同，因此用2去乘。总起来应当减去的数是210+882=1092，所以这种的和牌数是：14952-1092=13860

（4）一组字的

这一种里面，每一副都有6个字对子可以配合，这样配成的和牌总数是：

（C¹₇×C¹₂₄+C¹₇×C¹₄₉×C¹₈×2+C¹₇×C¹₈×C¹₈×C¹₈）×6=55440

至于配搭花色对子，也须分别研究，共有四项：

（a）含一组香皂或牙膏或皂珠三同色组的，一般地说有3个花色对子可配合。而含一组花三同色组的取法，又可分三项：（Ⅰ）三组花色同的，共有C¹₇×C¹₁₉；（Ⅱ）两组花色相同的，共有C¹₇×C¹₁₈×C¹₇×2+C¹₇×C¹₃₁×1×2；（Ⅲ）三组花色不同的，共有C¹₇×C¹₃×C¹₇×C¹₇。因此，可以配成和牌的数目是：

（C¹₇×C¹₁₉+C¹₇×C¹₁₈×C¹₇×2+C¹₇×C¹₃₁×1×2+C¹₇×C¹₃×C¹₇×C¹₇）×3=10080

在（Ⅰ）中所有和香皂配合的，都没有香皂七的对子可配，这个数目是C¹₇×C¹₇。在（Ⅱ）中含两组香皂的有C¹₇×C¹₃×C¹₇×2+C¹₇×C¹₁₀×1×2种香皂七的对子不能配合，而含牙膏或皂珠两组的各有C¹₇×C¹₆×C¹₃种不能和它配合，所以（Ⅱ）里应减的数是C¹₇×C¹₃×C¹₇×2+C¹₇×C¹₁₀×1×2+C¹₇×C¹₆×C¹₃×2。在（Ⅲ）中含有牙膏或皂珠三同色组的各有C¹₇×C¹₇×C¹₃种不能和它配合，因此应减去的数是C¹₇×C¹₇×C¹₃×2，而一总应当减去

C¹₇×C¹₇+C¹₇×C¹₃×C¹₇×2+C¹₇×C¹₁₀×1×2+C¹₇×C¹₆×C¹₃×2+C¹₇×C¹₇×C¹₃×2=1029

因而这一项可成的和牌数是：10080-1029=9051

（b）含二组香皂、牙膏和皂珠三同色组的，一般地说只有2个花色对子可配合。这项当中，四组三只组的配合法，可以这样设想：由花色的三组三同色组取两组，而在各三连续组中取一组，前一种的取法是C²₃，后一种的是C¹₁₉。因为三种花色中虽是共有21组三连续组，但某两种花色既取了三同色组就各少去了一组三连续组，所以只有19组可用。合计起来一总的和牌配合法是

C¹₇×C²₃×C¹₁₉×2=798

这里面应当减去不能和香皂七对子相配合的数是

C¹₇×C²₃×C¹₃=63

所以可成的和牌数是798-63=735

（c）含三组香皂、牙膏和皂珠三同色组的，这只有香皂七的对子可配合。和牌的数是：C¹₇×1=7

（d）不含香皂、牙膏，以及皂珠的三同色组的，一般地说来有4个花色对子可配合。这也可分成三项研究：（Ⅰ）三组花色相同的，共是C¹₇×C¹₅；（Ⅱ）两组花色相同的，共是C¹₇×C¹₃₁×C¹₇×2；（Ⅲ）三组花色不同的，共是C¹₇×C¹₇×C¹₇×C¹₇。因此同对子配搭起来一共是

（C¹₇×C¹₅+C¹₇×C¹₃₁×C¹₇×2+C¹₇×C¹₇×C¹₇×C¹₇）×4=21896

所应当减去的：在（Ⅰ）中是C¹₇×C¹₃，因为含三组香皂的，香皂七的对子都不能配合，而且也只有这些不能；在（Ⅱ）中含两组香皂的有C¹₇×C¹₁₀×C¹₇×2不能和它配合，含其他两组同花色的，各有C¹₇×C¹₁₀×C¹₃种不能同它配合，共是C¹₇×C¹₁₀×C¹₇×2+C¹₇×C¹₁₀×C¹₃×2；在（Ⅲ）中共有C¹₇×C¹₇×C¹₇×C¹₃不能和它配合。所以一共应当减去的数是：

C¹₇×C¹₃+C¹₇×C¹₁₀×C¹₇×2+C¹₇×C¹₁₀×C¹₃×2+C¹₇×C¹₇×C¹₇×C¹₃=2450

而这一项中可成的和牌数是：21896-2450=19446

（5）无字组的

这一种里面，每副都有7个字对子可配合，这是极明显的，这里仍照前面的分项法研究下去：

（a）四组香皂的：7个字对子和2个花色对子（牙膏的和皂珠的）可配合，所以一共可成的和牌数是：1×（7+2）=9

（b）三组香皂的

（Ⅰ）字对子的配法是C¹₁₀×C¹₈×2×7=1120

（Ⅱ）花色对子的配法，因为含有三组香皂，所以香皂七的对子都不能相配，若只含一组三同色组的，有2个花色对子可配，这样的数是（C¹₇×C¹₇×2+C¹₃×1×2）×2。若含两组三同色组的只有1个花色对子可配合，这样的数目是C¹₇×1×2×1，因此一总的和牌数是：

（C¹₇×C¹₇×2+C¹₃×1×2）×2+C¹₇×1×2×1=222

至于不含三同色组的，却有3个花色对子可配，而和牌一共的数目是：C¹₃×C¹₇×2×3=126

合计起来这一项共是222+126=348

（c）两组香皂的

（Ⅰ）字对子有7个可配，所以和牌的数目是：

（C¹₁₇×C¹₁₆×2+C¹₁₇×C¹₈×C¹₈）×7=11424

（Ⅱ）花色对子的配合还得再细细地分别研究。

（α）含有一组三同色组的，只有3个花色对子可配合，总数是：

（C¹₆×C¹₁₀×2+C¹₆×C¹₇×C¹₇+C¹₁₁×C¹₆×2+C¹₁₁×1×C¹₇×2）×3=2100

而应当减去的数是：

C¹₃×C¹₁₀×2+C¹₃×C¹₇×C¹₇+C¹₁₀×C¹₆×2+C¹₁₀×C¹₇×1×2=467

所以这项的和牌数是：2100-467=1633

（β）含有两组三同色组的，一般地说，只有2个花色对子可配合，其中自然也得减去香皂七的对子所不能配合的，而和牌的总数是：

（C¹₆×C¹₆×2+C¹₆×1×C¹₇×2+C¹₁₁×1×1）×2-（C¹₃×C¹₆×2+C¹₃×1×C¹₇×2+C¹₁₀×1×1）=246

（γ）含有三组三同色组的，这只有一部分不含香皂七的可以同香皂七的对子配合成和牌，这样的数目是：C¹₃×1×1=3

（δ）不含三同色组的，一般地说有4个花色对子可配合，但也应当减去香皂七的对子所不能配合的，这一项和牌的总数是：

（C¹₁₁×C¹₁₀×2+C¹₁₁×C¹₇×C¹₇）×4-（C¹₁₀×C¹₁₀×2+C¹₁₀×C¹₇×C¹₇）=2346

总合这四小项所得的数共是：1633+246+3+2346=4228

（d）一组香皂的

（Ⅰ）字对子也是7个都可以配合，所以这样的和牌数是：

（C¹₈×C¹₇×2+C¹₈×C¹₁₆×C¹₈×2）×7=15120

（Ⅱ）花色对子的配合：

（α）含一组三同色的

（1×1×2+1×C¹₁₀×C¹₇×2+C¹₇×C¹₆×2+C¹₇×C¹₆×C¹₇×2+C¹₇×C¹₁₀×1×2）×3-（C¹₃×C¹₆×2+C¹₃×C¹₆×C¹₇×2+C¹₃×C¹₁₀×1×2）=2514

这里第一个括孤中的前两项是香皂取一组三同色的。而第一项是和牙膏或皂珠三连续组的三组配合，第二项是在牙膏或皂珠中取三连续组两组和其他一种中的一组三连续组配合。香皂七的对子都配得上去。后三项是香皂取一组三连续组而和牙膏或皂珠的一组三同色组及别的两组配合，所以这项中有些是香皂七的对子不能配的，应当减去。

（β）含两组三同色组的，一般的只有2个花色对子可相配，配合的情形依前一种可类推，和牌的总数是：

（1×C¹₆×2+1×C¹₆×C¹₇×2+1×C¹₁₀×1×2+C¹₇×C¹₆×1×2）×2-C¹₃×C¹₆×1×2=364

（γ）含三组三同色组的，这自然只有香皂七的对子可相配合了，和牌数是1×C¹₆×1×2=12

（δ）不含三同色组的，这一般的有4个花色对子可配合，也应当减去香皂七的对子所不能配合的，所以和牌的总数是：

（C¹₇×1×2+C¹₇×C¹₁₀×C¹₇×2）×4-（C¹₃×1×2+C¹₃×C¹₁₀×C¹₇×2）=3550

这四小项共是2514+364+12+3550=6440

（e）没有香皂的：这一项里每副7个字对子和2个香皂的对子都可以去配合，这样的和牌数目共是：

（C¹₇×C¹₈×2+C¹₁₆×C¹₁₆）×（7+2）=3312

此外，就只剩牙膏或皂珠的对子的配合了；只含一组三同色组有1个对子可配合，一组不含的有2个对子可配合，所以和牌的数目是：

（C¹₆×C¹₇×2+1×1×2+C¹₆×C¹₁₀×2）×1+（1×C¹₇×2+C¹₁₀×C¹₁₀）×2=434

读者大约已是头昏脑涨了，但是恭喜恭喜，我们现在所差的只是将这些分户账总结一下，这不过是一个中等的复杂加法而已。

所谓“棕榄谜”，究竟有多少猜法？要知端的请看下面：245+3360+315+2835+25305+2268+126+13860+55440+9051+735+7+19446+9+1120+348+11424+4228+15120+6440+3312+434=175428

这175428副和牌，还是单就雀牌的正规说。一般玩雀牌的人，还有和十三幺的说法，又在西南几省还有和七对的。

所谓十三幺，照“棕榄谜”说就是一副中，棕、榄、香、皂、珂、路、搿，香皂一、九，牙膏一、九，和皂珠一、九，十三只都有而且有一只成对。在所绘的材料中除香皂九、牙膏一和皂珠九不能成对外还有十种可以成对，所以十三幺的和法共有10种。

至于七对的和法，因为一共有12个对子可以做成——棕、榄、香、皂、珂、路、香皂一、香皂七、牙膏九、皂珠一各1对，搿2对。所以和法共是：

将这三种合起来，和牌的副数便是：175428+10+792=176230

读者倘若预先想得有一个答数的，看到这里就得到了比较，我且问你，真实的数目和你预估的相差多少？

（十一）

现在我们可以说猜的话了。

照它的游戏规则说，每人以四猜为限，所以你若规规矩矩猜了四猜寄去，你的希望不过是：

弱

就是四万四千零五十八分之一还不到，依概率说，这实在太微弱了。

你也许可以这样想：我们可以揣摩公司的心理，这样，就比较有把握。但是倘若该公司的排定和牌不是偶然的，而有什么用意，可以被别人揣摩着，那么能猜中的人就一定不少。照它的游戏规则所规定的，赠品仅以十座为限，如猜中者超过十人，则再用抽签法决定，所以你就是猜中了，得奖的希望还是不大。从少数说，比如有二十个人猜中，那么你也不过有一半的希望。因为从二十个人中抽出十个人的方法一共是C¹⁰₂₀，能够抽到你的机会是C⁹₁₉，你的希望便是：

是的，一半的希望本不算小，但由揣摩心理去猜中，这是多少渺茫呵！

事情的成功本来有两条路，一是“碰”，一是“干”。你猜四猜希望中，这是碰；碰的希望这般小，你也许会想到，既有一定的数目，无妨硬干，用四万四千零五十八个名字，各种和牌都猜去，自然这是一定中的。然而，朋友，你别忙开心，这一来不可能，二来即使可能也倒霉。

为什么不可能？

一共十七万六千二百三十副和牌，照它的规定，要你从图上将捡定的十四只剪贴在参赛券上。就算你很敏捷，两分钟可以剪贴成一张，你也很勤奋，每天可以继续不断地剪贴十二个钟头，我们试来算算看。

两分钟剪贴一张，一小时可剪贴三十张，一天工作十二小时，一共也不过可剪贴三百六十张。要全部剪贴完，就要四百八十九天六小时二十分钟。你每天都不中断，也需一年四个多月。然而游戏的截止期是本年九月十日，奈何？

为什么可能也倒霉？

依游戏规则，每一猜须附寄大号棕榄香皂绿包纸及黑纸带各一。这就是说你要猜一条就得买一块大号棕榄香皂，所以你要全猜须得买十七万六千二百三十块。照平常的价钱每块是要二角六分，就算你买得多打对折也要一角三分，而一共就要二万二千九百零九元零九分，你有这么多的闲钱吗？再进一步想，公司这样将香皂卖给你，每块不过赚你一分洋钱，他也就赚了一千七百六十二元三角了。什么宝贝的最新式落地收音机，你还不够自己买，要来费这般大的事！

朋友F君说：绿包纸及黑纸带可以想法去收集，一个铜元一副。好，就这样办吧！十七万六千二百三十个铜元，就照上海现时的行情还客气一点，算是三百个铜元一块钱，也要五百八十七元四角三分，你又要用四万多个信封，还不够自己买一架收音机吗？

硬干，可能，你说算得来倒天下的大霉吗？

还有一点我忘了写出来，现在补上吧。

上面所计算的和牌的数目十七万多，这还只就每副牌所包含的十四只的情形说的。游戏规则说，参加游戏者亦只可在上图五十六只中捡出十四只“排”成和牌一副，如与本公司所“排定”之和牌“完全”相同……假如这条规定的本意不但要你猜中他所“排定”那一副和牌是用哪十四只，而且还须“排”贴得一样，那么，朋友，这个数目可够你算了。一副和牌排法最多的，就是十四只中除一个对子外都不相同的，它的排法是：

而最少的——含着四组三同色组和一对的——也有33633600种排法。

十七万多副和牌的排法共有多少，这个数不是够你算了吗？而算了出来，你有法说清楚吗？

假如棕榄公司的经理是要你“排”得“完全”和他“排定”的相同，你要去猜，希望猜中岂非大海捞针！

虽是这样，将来总有十个人能够将那“最新式落地收音机”摆在自己家里的，然而这是数学以外的问题。

[27]雀牌：麻将。

[28]珂路搿：Colgate，即高露洁。