九、韩信点兵
九、韩信点兵
说起来已将近三十年了，那时我还只八岁，常常随了我的祖父去会他的老友。有一次到一个小盐商家去，他一见了我们祖孙俩走到摊头，一边拉长板凳一边向祖父说：
——请坐，请坐，好福气，四孙少爷这般大了。
——什么福啊！奔忙福！
——哪里，哪里，四孙少爷在进学校了吧！
——不要这般叫，孩子们，今年已随着哥哥进学校了，在屋里淘气得很，还是去找个管头的好。祖父说了，微笑着抚摸我的头。盐老板和他说了一些古话，不知怎的，突然却转到了我的身上：
——在学校里念些什么书？
——国文、算术……我这样地回答。
——还学算吗？好，给你算一个题，算得出，请你吃晚饭。
这使我有点奇怪，我心里猜不透他是叫我算乘法还是除法。我有些惊恐，怕他叫我算四则问题，我目不转睛地看着他，他不慌不忙地说了出来：
——三个三个地数剩两个，五个五个地数剩三个，七个七个地数也剩两个，你算是几个？
我一听心里非常高兴，暗里还有点骄傲：“这样的题目，哪个不会算！”这时我正好学完公倍数公约数，而且不久前还算过这样的一个题目：
“某数以三除之余二，以四除之余三，以五除之余四，以六除之余五，问某数最小是若干？”
我把这两个题目看成是一样的，它们都是用几个数去除一个数全除不尽。这第二个题的算法我还记得十分清楚，所以我觉得很有把握。不但这样，我并且觉得这位老板的题目有些不通，他不曾只问我一个最小的答数。当我这样在肚里寻思的时候，祖父便问道：
——算得出吗？
——算得出，不止一个答数。我这样回答以后，那位老板就恭维起我来了，向着祖父说：
——真好福气！一想就想出来了，将来一定比大老爷还强。
祖父又是一阵客气，然后向着我说：
——你说一个答数看。
我所算过的题，是先求出三、四、五、六四个数的最小公倍数“六十”，然后减去“一”得“五十九”。我于是依样先求三、五、七三个数的最小公倍数，心里暗想着“三五一十五、七五三十五、一百零五”。再就是要减去一个数了。我算过的题因为“以三除之余二”是差个一（3-2=1）就除尽，所以要减去“一”。现在“三个三个地数剩两个”正是一样的，也只要减去“一”，所以我就从一百零五当中减去一，而立刻回答道：
——顶小的一个数是一百零四，还有二百零九（104+105=209）也是的。
我这时，在幼稚的心上感到得意，感到快乐，我期望着老板的夸奖。岂知大出我意料之外！他说：
——一百零四，五个五个地数剩的是四个不是三个。
这我怎么不曾想到呢？于是我想那么应当从一百零五当中减去二了（5-3=2），我就说：
——一百零三。
——三个三个的数只剩一了。
我窘极了，居然遭了这么大的失败。在我小时学数学，所遇到的窘迫，这是最大的两次当中的一次，我觉得当着人失败，非常害羞。我记得很清楚，我一只手扯了衣角，一只手捏紧拳头，脸上如火烧一般地热，低了头尽管在心里转念头，把我所算过的题目都想到。但是徒然，再和它相像的一个也没有了。我后来横了心，很胆大地说：
——恐怕题目出错了吧！
然而得到的是一个更加使我窘迫的回答：
——不错的。
连我的祖父也这样说。
穷极智生，我居然得到了一条新路，我想三个去除剩两个，五个去除剩三个，我可以先找三个去除剩两个的一些数再一个一个地拿五去除来试。这真是一条光明的路，第一个我想到“五”，这自然不对，用五去除并没有剩的。挨了下去再就想到“八”，正好用三去除剩二，用五去除剩三。我真喜出望外：
——八！
——还是不对，七个七个地数，只剩一个。
这真叫我走投无路了！那天的晚饭虽则仍是那位老板留我们吃，但当祖父答应留在那里的时候，使我非常难过，眼巴巴地只望他领了我回家，我真是脸上热一阵冷一阵的，哪有心肠吃饭！我想得头都胀了，总想不出这个方法来。羞愧，气闷，因而还有些恼怒，就满心充塞着这些滋味没精打采地在夜里随着祖父回家。我的祖父对我很慈爱，但督责也很严，他在外面虽不曾向我说什么，一到家里，他就教训我了：
——读书要用心！……在别人的面前不好夸口！……“宁在人前全不会，勿在人前会不全！”小小年纪晓得些什么？别人问到就说不知道好了……这时他的脸上严肃中还带得有几分生气的样儿。他给我这样的教训时，我的母亲、婶母、哥哥都在旁边的，他后来慢慢地将我的遭遇说给他们听，我的哥哥听他说完了题目便冲口而出地：
——二十三。
我非常不服气，
——别人告诉过你的！
——还这样不上进，祖父真生气了。
从那夜起，一直两三天，我见到祖父就怕，我没有一个时候不想这个题的算法，真弄得吃、玩、睡都是惝恍的。终于还是我的哥哥把算这个题目的秘诀告诉了我，而且说，这叫“韩信点兵”。这我才虽是十分懊丧，却慢慢地丢开了去。
现在想起来，那次的遭遇以及祖父所给我的教训实在是我的年龄所不应当受的。不过这样的硬教育，对于我也有很大的功劳，我对于数学能有较浓厚的兴趣，一半固然由于别人所给的积极的鼓励，而一半也由于这种差不多是我所担受不起的遭遇和教训。数学本来有时会叫人头痛的，然而经过一次头痛，总有一次的进益。这次的遭遇，对于本问题，我自己直接虽是一无所得，但对于思索问题的途径，确实得到了不少的启示。在当时，有些自以为有了理解的，虽也不免浮泛或错误，但毕竟增长了一些趣味和能力。因此我愿以十二分的诚意，将这段经过叙述出来，以慰勉一部分和我有相类的遭遇的读者。
现在我们言归正传。
所谓“韩信点兵”，就指的是那位盐老板所给我的问题的算法。“韩信点兵”这个名词虽是到了明时程大位的《算法统宗》才见到的，但这个问题在中国数学史上却很有些来历，到了卖盐老板都知道，也可以当得起“妇孺皆知”的荣誉了。
这题目最早是见于《孙子算经》，《孙子算经》确实是什么时候什么人所作的书，现在虽然难以考证，大约是二千多年前的作品确实是不容怀疑。在《孙子算经》上，这题目原是这样的：
“今有物不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？”
在原书本归在下卷中，到了宋时，周密的书中却有“鬼谷算”和“隔墙算”的名目，而杨辉又称为“剪管术”，在那时便有秦王暗点兵的俗名，大约韩信就是从秦王变来的，至于“明点”“暗点”那本没有什么多大关系。
原书上，跟着题目便有下面的一段：
“答曰二十三。”
“术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。”
“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置一十五；一百六以上，以一百五减之，即得。”
后一小段可以说是这类问题的基本算法，而前一小段却是本问题的解答，用现在的式子照写出来便是：
70×2+21×3+15×2=140+63+30=233
233-105×2=233-210=23
照前面的说法，自然是士大夫气很重，也可以说是讲义体，一般人当然很难明白，但到了周密的书，便有诗歌形式的说明，那诗道：
“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇。
七度上元重相会，寒食清明便可知。”
这诗虽然容易记诵，但意义不很明白，而且说得也欠周到。到了程大位，它就改了面目：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆月正半，除百零五便得知。”
这诗流传得非常广，所以如卖盐老板之流也都知道，而我的哥哥所告诉我的秘诀就是它。
是的，知道了它，这类的题目便可以机械地算了，将三除所得的余数去乘七十，五除所得的余数去乘二十一，七除所得的余数去乘十五，再把这三项乘积相加，如所得的和比一百零五小，那便是所求的答数。不然，则减去一百零五的倍数而得出比一百零五小的数来——这里所要求的只是一个最小的答数——例如三三数之剩一，五五数之剩四，七七数之剩三，那么，运算的程序便是：
70×1+21×4+15×3=70+84+45=199
199-105=94
若单只就实用或游戏说，熟记这秘诀已很够受用了，至于它是从哪儿来的，一般人哪管得这么多？但就数学的立场来说，这种知其然而不知其所以然的态度却没有多大的价值，并且即使熟记着这秘诀，所能应付的问题不过一百零五个，因为只限于三三，五五，七七三种数法。我们要默记这一百零五个答数并不是不可能，然而到得果真熟记着这一百零五个答数，那就更无意味了（见文末附注）。
所以我们第一要问，为什么这样就是对的？
要说明个中的理由，我们先记起算术里面关于倍数的两个定理：
（一）某数的倍数的倍数，还是某数的倍数——这正如我的哥哥的哥哥还是我的哥哥一般。
（二）某数的若干倍数的和，还是某数的倍数——这正如我的几个哥哥坐在一起，他们仍然是我的哥哥一般。
依了这两个定理来检讨上面的算法，设R3表示用三除所得的余数，R5和R7相应地表示用五除和用七除所得的余数，那么：
（一）七十是五和七的倍数，而是三的倍数多一，所以用R3去乘仍是五和七的倍数，而是三的倍数多R3。
（二）二十一是七和三的倍数，而是五的倍数多一，所以用R5去乘仍是七和三的倍数，而是五的倍数多R5。
（三）十五是三和五的倍数，而是七的倍数多一，所以用R7去乘仍是三和五的倍数，而是七的倍数多R7。
（四）所以这三项相加，就三说，是
70×R3+21×R5+15×R7=3的倍数+R3+3的倍数+3的倍数=3的倍数+R3。
若用三去除，所得的余数正是R3。就五说，是
70×R3+21×R5+15×R7=5的倍数+R5+5的倍数+5的倍数=5的倍数+R5。
若用五去除，所得的余数正是R5。就七说，是
70×R3+21×R5+15×R7=7的倍数+R7+7的倍数+7的倍数=7倍数+R7。
若用七去除，所得的余数正是R7。
这就可以证明我们如法炮制出来的数是合题的。至于在比一百零五大的时候，要减去它的倍数，使得数小于一百零五，这只因为适合于题目的答数本来无穷，只得取最小的一个做代表的缘故。一百零五本是三、五、七的最小公倍数，在这最小的答数上加入它的倍数，这是和除得的余数无关系的。
经过这样的证明，我们可以承认上面的算法是对了，但这还不够，我们第二要问，那七十、二十一和十五三个数含有怎样的性质？
七十是五和七的公倍数，而二十一是七和三的最小公倍数，十五是三和五的最小公倍数，为什么两个是最小公倍数而另一个却只是公倍数呢？
这个问题并不难回答，因为二十一用五除，十五用七除都恰好剩一，而五和七的最小公倍数“三十五”用三除却剩的是二，要七十用三除才剩一。所以这个解法的要点，是要求出三个数来，每一个都是三个除数中的两个的公倍数——最小公倍数是碰巧的——而同时是另一个除数的倍数多一。
这样，就到了第三步，我们要问，合于这种条件的数怎样求法？
这里且将清时黄宗宪所编《求一术通解》里面的方法摘抄在下面，我们来认识认识中国数学书的面目，也是一件趣事。
“三位泛母俱是数根，不可拆，即为定母。连乘之，得一〇五为衍母。以一行三除之，得三十五为一行衍数；以二行定母五除之，得二十一为二行衍数；以三行定母七除之，得一十五为三行衍数。”
这里所谓泛母，用不到解释，便可明白。析母就是将泛母分成质因数，至于定母，便是各泛母所单独含有的质因数的积。若是有一个质因数是两个以上的泛母所共有的，那么只是含这个质因数的个数最多的泛母用它；若是两个泛母所含这质因数的个数相同，那么随便在哪一个泛母用它都可以。注意后面的另一个例子——衍母是各定母的连乘积，也就是各泛母的最小公倍数。衍数是用定母除衍母所得的商。
得了定母和衍数，就可以求乘率，所谓乘率便是乘了衍数所得的积恰等于泛母的倍数多一的数，而这个乘积称为用数。求乘率的方法，在《求一术通解》里面是这样说的：
“列定母于上行，列衍数于下行（左角上预寄一数），辗转累减，至衍数余一为止，视左角上寄数为乘率。
“按两数相减，必以少数为法，多数为实。其法上无寄数者，不论减若干次，减余数上仍以一为寄数（1）。其实上无寄数者，减余数上以所减次数为寄数（2）；其法、实上俱有寄数者，视累减若干次，以法上寄数亦累加若干次于实上寄数中（3）；即得减余数上之寄数矣。”
照这个法则，我们来求所要的各乘率，为了容易明白，我将原式的中国数码改成了阿拉伯数字：
| 定母3 | 3 | 11 | |
| 衍数135 | 12 | 12 | 21 |
所以乘率是2。
| 定母5 | |
| 衍数121 | 11 |
所以乘率是1。
| 定母7 | |
| 衍数115 | 11 |
所以乘率是1。
依原书所说，是用累减法，但累减便是除，为什么不老老实实地说除，而要说是累减呢？这个理由是因为最后衍数这一行必要保留一个余数1——所以即使除得尽也不许除尽，因此说除不如说累减来得统一。但我们这时要说明，还是用除好些。我们就用除法来检查这个计算法，如第一式，衍数35左角上的1，就是所谓预寄的一数，表示用一个衍数的意思，因为定母3比衍数35小，用3（法）去除35（实）得11剩2；照（1）法上无寄数，仍以1为余数2的寄数，所以2的左角上写1。接着以2（法）除3（实）得1（商）剩1；照（2）实上无寄数，以所减次数（即商数）为余数的寄数，所以1的右角上还是1。再用这1（法）去除2（实），本来是除得尽的，但应当保留余数1，因此只能商1而剩1。照（3）法、实都有寄数，应当以商数1乘法数1的寄数1加上实数2的寄数1得2，为余数1的寄数，而它便是乘率。
第一次的余数2=35-3×11
第二次的余数1=3-2×1=3-第一次的余数×1=3-（35-3×11）×1
第三次的余数1=2-1×1
=第一次的余数-第二次的余数×1
=35-3×11-[3-（35-3×11）×1]×1
=35-3×11-3×1+35×1-3×11×1×1
=35×（1+1）-3×（11+1+11）
=35×2*-3×23
就是3×23=35×2-1
上式中“*”表示所求得的乘率，黑体字表示每次的寄数。你看这求法多么巧妙！现在用代数的方法一般地证明如下。设A为定母，B为衍数，a0、a1、a2，…、an为各次的寄数，r0、r1、r2、…、rn为各次的余数，而rn等于1，依上面的式子写出来便是：
而r0=B-t0A
r1=A-a1r0=A-a1（B-t0A）=A-a1B+a1t0A
=t1A-a1B
t1=a1t0+1
r2=r0-q2r1=（B-t0A）-q2（t1A-a1B）=B-t0A-q2t1A+q2a1B
=a2B-t2A
a2=q2a1+a0
t2=q2t1+t0
r3=r1-q3r2=（t1A-a1B）-q3（a2B-t2A）
=t3A-a3B
a3=q3a2+a1
t3=q3t2+t1
…………………………
∴rn=anB-tnA
an=qnan-1+an-2
tn=qntn-1+tn-2
但rn=1
∴1=anB-tnA
就是anB=tnA+1
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有了乘率，将它去乘衍数就得用数，上面已经证明了，所以在本例题，三、五和七的用数相应地便是七十（35×2）、二十一（21×1）和十五（15×1）。
杨辉的“剪管术”中，同样的题目有好几个，试取两个照样演算于下。
（a）七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数几何？
（一）求衍数
| 泛母 | 析母 | 定母 | 衍母 | 衍数 |
| 7 | 7 | 7 | 504 | 72 |
| 8 | 8 | 8 | 63 | |
| 9 | 9 | 9 | 56 |
（二）求乘率
| 定母7 | 7 | 13 | |
| 衍数172 | 12 | 12 | 41 |
所以乘率是4。
| 定母8 | 8 | 11 | |
| 衍数163 | 17 | 17 | 71 |
所以乘率是7。
| 定母9 | 9 | 14 | |
| 衍数156 | 12 | 12 | 51 |
所以乘率是5。
（三）求用数，就是将相应的乘率去乘衍数，所以七、八、九的用数相应地为二百八十八（72×4），四百四十一（63×7）和二百八十（56×5）。
（四）求本数，就是将各除数所除得的剩余相应地乘各用数，而将这三个乘积加起来。倘若这所得的和比七、八、九的最小公倍数五百零四大，就将五百零四的倍数减去，也就是用这最小公倍数除所得的和而求余数。
因而288×1+441×2+280×3=288+882+840=2010
2010÷504=3余498
所以四百九十八便是本数。
（b）二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问原总数几何？
（一）求衍数
| 泛母 | 析母 | 定母 | 衍母 | 衍数 |
| 2 | 2 | 2 | 630 | 315 |
| 5 | 5 | 5 | 126 | |
| 7 | 7 | 7 | 90 | |
| 9 | 9 | 9 | 70 |
（二）求乘率
| 定母2 | |
| 衍数1315 | 11 |
所以乘率是1。
| 定母5 | |
| 衍数1126 | 11 |
所以乘率是1。
| 定母7 | 7 | 11 | |
| 衍数190 | 16 | 16 | 61 |
所以乘率是6。
| 定母9 | 9 | 21 | |
| 衍数170 | 17 | 17 | 41 |
所以乘率是4。
（三）求用数
2的……315×1=315，5的……126×1=126，
7的……90×6=540，9的……70×4=280。
（四）求本数
315×1+126×2+540×3+280×4=315+252+1620+1120=3307
3307÷630=5……157
所以原总数是一百五十七。
再由《求一术通解》上取一个较复杂的例子，那更可以看明白这类题的算法了。
“今有数不知总：以五累减之，无剩；以七百一十五累减之，剩一十；以二百四十七累减之，剩一百四十；以三百九十一累减之，剩二百四十五；以一百八十七累减之，剩一百零九，问总数若干？”
“答：10020。”
（一）求衍数
| 泛母 | 析母 | 定母 | 衍母 | 衍数 |
| 5 | 5 | 废位 | 5311735 | |
| 715 | 5·×11·×13 | 55 | 96577 | |
| 247 | 13·×19· | 247 | 21505 | |
| 391 | 17·×23· | 391 | 13585 | |
| 187 | 11×17 | 废位 |
（二）求乘率
| 定母55 | 55 | 31 | |
| 衍数196577 | 152 | 152 | 181 |
所以乘率是18。
| 定母247 | 247 | 715 | 715 | 1108 | |
| 衍数121505 | 116 | 116 | 312 | 312 | 1391 |
所以乘率是139。
| 定母391 | 391 | 1001 | 1001 | 94 | |
| 衍数113585 | 1291 | 1291 | 391 | 391 | 431 |
所以乘率是43。
（三）求用数
715的……96577×18=1738386
247的……21505×139=2989195
391的……13585×43=584155
（四）求总数
1738386×10+2989195×140+584155×245
=17383860+418487300+143117975
=578989135
578989135÷5311735=109……10020
这个计算所要注意的就是“废位”，第一行的析母5，第二行也有，第二行已用了（数旁记黑点就是表示采用的意思），所以第一行可废去。又第五行的11和17一个已用在第二行，一个已用在第四行，所以这一行也废去。前面已经说过两个泛母若有相同的质因数而且所含的个数相同，无论在哪个泛母采用都可以的，因此上面的求衍数的方法中的一种，在《求一术通解》里，就附有下列每种采用法的表，比较起来这一种实在是最简单的了（表中的○表示废位）。
| 析母 | 5 | 5×11×13 | 13×19 | 17×23 | 11×17 | |
| 定母 | ○ | 55 | 247 | 391 | ○ | 1 |
| ○ | 715 | 19 | 391 | ○ | 2 | |
| ○ | 55 | 247 | 23 | 17 | 3 | |
| ○ | 715 | 19 | 23 | 17 | 4 | |
| ○ | 5 | 147 | 391 | 11 | 5 | |
| ○ | 65 | 19 | 391 | 11 | 6 | |
| ○ | 5 | 247 | 23 | 187 | 7 | |
| ○ | 65 | 19 | 23 | 187 | 8 | |
| 5 | 11 | 247 | 391 | ○ | 9 | |
| 5 | 143 | 19 | 391 | ○ | 10 | |
| 5 | 11 | 247 | 23 | 17 | 11 | |
| 5 | 143 | 19 | 23 | 17 | 12 | |
| 5 | ○ | 247 | 391 | 11 | 13 | |
| 5 | 13 | 19 | 391 | 11 | 14 | |
| 5 | ○ | 247 | 23 | 187 | 15 | |
| 5 | 13 | 19 | 23 | 187 | 16 |
由这几个例子，可以看出“韩信”的点兵不限于三三，五五，七七地数。在中国的旧数学上，“大衍求一术”还有不少的应用，不过在这篇短文里却讲不到了。
到了这一步，我们可以问：“‘韩信点兵’这类的问题在西洋数学中怎样解决呢？”
要回答这个问题，你先要记起代数中联立方程式的解法来。不，首先要记起一般联立方程式所应具的必要条件。那是这样的，方程式的个数应当和它们所含未知数的个数相等，所以二元的要有两个方程式，三元的要有三个，倘使方程式的个数比它们所含未知数的个数少，那就不能得出一定的解答，因此我们称它为不定方程式系。
两个未知数而只有一个方程式，例如，
5x+10y=20
我们若将y当作已知数看，依照解方程式的顺序来解便可，而且也只能得下面的式子：
x=4-2y
在这个式子当中任意用一个数去代y，x都有一个相应的数值，如：
y=0，x=4-2×0=4；y=1，x=4-2×1=2；
y=2，x=4-2×2=0；y=3，x=4-2×3=-2；
y=-1，x=4-2×（-1）=6；…………
y的数值既可任意地定，所以这方程式的根便是不定的。
又三个未知数，而只有两个方程式，比如：
x+y-3z=8……（1）
2x-5y+z=2……（2）
依照解联立方程式的法则，从这两个方程式可以随意先消去一个未知数。若要消去z，就用3去乘（2）而和（1）相加，便得：
6x-15y+3z+x+y-3z=6+8
7x-14y=14
再移含有y的项到右边，并且全体用7去除，就得：
x=2+2y
照前例同一的理由，这方程式中y的值可以任意选用，所以是不定的，而x的值也就不定了，x和y的值都不一定，z的值跟着更是不定，如：
y=1，x=4，代入（1）z=-1 代入（2）z=-1；
y=2，x=6，代入（1）z=0 代入（2）z=0；
………………
就这种情形推下去，联立方程式的个数只要比它们所含的未知数少，就得不出一定的解答来。
这样说起来，不定方程式系不是一点儿用场都没有了吗？这个疑问自然是应当有的，不过用场的有无实在难说。和尚拾着常州梳子自然没用，但若是江北大姐拾着，岂不喜出望外仔细考察起来，不定方程式系虽然没有一定的解答，但它却将所含的未知数间的关系加上了限制。即如第一个例子，x和y的数值虽然不定，但若y等于0，x就只能等于4；若y等于1，x就只能等于2。再就第二个例子说，也有同样的情形。这种关系倘若再得到别的条件来补充，那么，解答就不是漫无限制了，本来一个方程式也不过表示几个未知数在某种情形所具的关系，也就只是一个条件。
我们就用“韩信点兵”的问题来做例子吧。
设三三数所数的次数为x，五五数所数的次数为y，七七数所数的次数为z，而原数为N，则：
N=3x+2=5y+3=7z+2
∴3x+2=5y+3……（1）
3x+2=7z+2……（2）
这有三个未知数而只有两个方程式，但我们应当注意x，y，z都必须是正整数，这便是一个附带的条件，
由（1）
因为x和y是正整数，所以
虽是一个分数的形式，也必须是整数，设它是α，那么：
∴ 2y+1=3α，
因为y和x都是整数，所以
也必须是整数，设它是β，则
∴α-1=2β，α=2β+1
∴y=α+β=2β+1+β=3β+1，
x=y+α=3β+1+2β+1=5β+2
而N=3x+2=3（5β+2）+2=15β+8，
由（2）15β+8=7z+2，∴7z=15β+6，
∴
因为z和β都是正整数，所以
也必须是整数，设它是γ，则
γ，
∴β+6=7γ，β=7γ-6
而
N=7z+2=7（15γ-12）+2=105γ-82
现在γ既是整数，而且不能是负的。因为它若是负的，N也便是负的，对于题目说便没有意义了。所以γ至少须是1，而
N=105-82=23
自然γ可以是2、3、4、5、6，……而N随着便是128、233、338、443、548，……但N的值虽无穷却有一个限制。
既说到代数的不定方程式，无妨顺着再说一点。
（a）解方程式3x+4y=22，x和y的值限于正整数，先将含y的项移到右边，则得
3x=22-4y
∴
因为x和y都是正整数，而7本来是整数，所以
也应当是整数，设它等于α，则
，1-y=3α；
∴y=1-3α，（1）
x=7-（1-3α）+α=6+4α（2）
由（1）y既是正整数，α也是整数，所以α或是等于零或是负的，绝不能是正的。
由（2）x既是正整数，α也是整数，所以α应当是正的或是等于零，最小只能等于负1。
合看这两个条件α只能等于零或负1，而
α=0，x=6，y=1；
α=-1，x=2，y=4。
（b）解方程式5x-14y=11，x和y的值限于正整数。
移项5x=11+14y，
∴
因为x和y以及2都是整数，所以
也应当是整数，但这里和前一个例子不同，不好爽爽快快地就设它等于α，为的是若
，则1+4y=5α，
仍是一个分数的形式。要避去这个困难，必要的条件是使原来的分数的分子中y的系数为1。幸好这是可能的，不是吗？整数的倍数仍然是整数，我们就无妨用一个适当的数去乘这分数，就是乘它的分子。所谓适当，就是乘了以后，y的系数恰等于分母的倍数多1。这好似又要用到了前面所说的求乘率的方法了，实际还可以不必这么地大动干戈。乘数总比分母小，由视察便可得到了。在本例，则可用4去乘，便得
而
应当是整数，设它等于α，则
，4+y=5αy=5α-4（1）
∴
（2）
这里和前例也有点不同，由（1）和（2）看来α只要是正整数就可以，不必再有什么限制，所以
α=1，x=5，y=1；
α=2，x=19，y=6；
α=3，x=33，y=11；
…………
这样的解答是无穷的。
将中国的老方法和现在我们所学的新法两相比较，究竟哪一种好些，这虽很难说，但由此可以知道，一个问题的解法绝不只是一种。当学习数学的时候，能够注意别人的算法以及自己另辟蹊径去走，都是有兴味而且有益处的。中国的“求一术”不但在中国数学史上占着很重要的位置，若能发扬光大，正有不少的问题可以研究。
[附注]一个数用3去除，有三种情形：一是剩0（就是除尽），二是剩1，三是剩2。同样地，用5去除有五种情形，剩0、1、2、3、4。用7去除有七种情形，剩0、1、2、3、4、5、6。从3除的三种情形中任取一种，和5除的五种情形中的任一种，以及7除的七种情形中的任一种配合，都能成一个“韩信点兵”的题目，所以一共有3×5×7=105个题。而这105个题的最小答数，恰是从0到104这105个数，把它们排列起来可以得出下面的表。
 |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 0 | 0 1 2 3 4 5 6 |
0 15 30 45 60 75 90 |
21 36 51 66 81 96 6 |
42 57 72 87 102 12 27 |
63 78 93 3 18 33 48 |
84 99 9 24 39 54 69 |
| 1 | 0 1 2 3 4 5 6 |
70 85 100 10 25 40 55 |
91 1 16 31 46 61 76 |
7 22 37 52 67 82 97 |
28 43 58 73 88 103 13 |
49 64 79 94 4 19 34 |
| 2 | 0 1 2 3 4 5 6 |
35 50 65 80 95 5 20 |
56 71 86 101 11 26 41 |
77 92 2 17 32 47 62 |
98 8 23 38 53 68 83 |
14 29 44 59 74 89 104 |
这个表的构造是这样的：
（1）R3的一行的0、1、2表示三个三个地数的余数。
（2）R7的一行的0、1、2、3、4、5、6表示七个七个地数的余数。
（3）R5的一排的0、1、2、3、4表示五个五个地数的余数。
（4）中间的数便是105个相当的答数。
所以如说三数剩二，五数剩三，七数剩二，答数就是第三大横排的第六竖列的第三数，二十三。如说三数剩一，五数剩二，七数剩四，答数便是第二大横排的第五竖列的第五数，六十七。
表中各数的排列，仔细观察，也很有趣：
（1）就三大横排说，同竖列同小排的数次第加70——超过105则减去它——正是泛母三的用数。
（2）就每一小横排说，次第加21——超过105则减去它——正是泛母五的用数。
（3）就每大横排中的各竖列说，次第加15——超过105则减去它——正是泛母七的用数。
这个理由自然是略一思索就会明白的。