十一、假如我们有十二个手指

（一）

记得大约十年前，上海风行过一种画报，这画报上每期载有一页“马浪荡改行”。马浪荡是一个浪荡子，在上海滩上无论啥行道他都做过，一种行道失败了，混不下去，就掉一种。有一次他去当拍卖行的伙计，高高地坐在台上，一个买客，是每只手有六根指头的，伸着两手表示他对于某件东西出十块钱。马浪荡见着十二个指头，便以为他说的是十二块，高高兴兴地卖了，记下账来。到收钱的时候，那人只出十块，马浪荡的老板照账硬要十二块，争执得无可了结，叫马浪荡赔两块了事，马浪荡又是一次失败。

我常常会想起这件故事，因为我常常见到大家伸起手指头表示他们所说的数，一个指头表示一，两个指头表示二，三个指头表示三……这非常自然。两只手没有一秒钟不跟随着人，手指头又是伸屈极灵便的机械，若不利用它们表数，岂不辜负了它们！

但有时我又想，我们有这十个小把戏，固然得了不少的便宜，可是我们未尝不吃亏。人的文明大半是靠这十个小把戏产生出来的。假如我们不很满意现代的文明的话，仔细一思量，就不免要归罪于它们了。别的不必说，假如这小把戏和小把戏中间，也和鸭儿的脚板一样，生得有些薄皮，游起水来就便利得多。不但如此，有酒没有酒杯的当儿，窝着手心权当杯儿，也可以点滴不漏。话虽如此，这只是空想，在我们的生活中，实在有些地方是受它们的拘束很厉害。最明白而简单的例子，就是我们的记数法。马浪荡的买客，伸出手来，既有十二个指头，马浪荡认他所表示的是十二，这是极合理的。伸出两只手表示一十，本来是因为只有十个指头的缘故；假如我们每个人都有十二个手指头，当然不肯特别优待哪两个，伸出两只手还只表示到一十就心满意足。

两只手有十个指头，便用它们来表十，原不过因为取携便当，岂料这一来，我们的记数法就受了限制，我们都只知道“一而十，十而百，百而千，千而万……”满了十就进一位，我们还觉得只有这“十进”法顶便利。其实这全是喜欢利用十个手指头反而受了它们的束缚的缘故，假如你看着你的小弟妹们用手指算二加二得四，你觉得他们太愚笨，太可笑，那么，你觉得十进记数法最便利是同样地愚笨，同样地可笑。

假如我们有十二个手指表示数，我们不是可以用十二进位记数法吗？

假如你觉得十进法比五进法便当，你能不承认十二进法比十进法便当吗？——自然要请你不可记着你只有十个手指头。

我们且先来探索一下记数法的情形，然后再看假如我们有十二个手指头，用了十二进位法，我们的数的世界和数学的世界将有怎样的不同。我一再说假如我们有十二个手指头，用十二进位法，所以要如此，因为没有十二个手指头，就不会使用十二进位法的。人只是客观世界的反射镜，不能离开客观世界产生什么文明。

混沌未开，黑漆一团的时代，无所谓数，因为“一”虽是数的老祖宗，但倘若它无嗣而终，数的世界是无法成立的。数的世界的展开至少要有“二”。假如我们的手是和马蹄一样的，伸出来只能表示“二”，我们当然只能利用二进法记数。但二进法记数，实在有点滑稽。第一，我们既只能知道二，记起数来就不能有三位；第二，在个位满二就得记成上一位的一。这么一来，我们除了写一个“1”来记一，写一个“1”后面跟上一个零来记“二”，并排写两个“1”来记“三”，再没有什么能力了，数的世界不是仍然很简单吗？

若是我们还知道“三”，自然可以用三进法而且用三位记数，那我们可记的数便有二十六个：

1…一

2…二

10…三

11…四

12…五

20…六

21…七

22…八

100…九

101…十

102…十一

110…十二

111…十三

112…十四

120…十五

121…十六

122…十七

200…十八

201…十九

202…二十

210…二十一

211…二十二

212…二十三

220…二十四

221…二十五

222…二十六

由三而四，用四进法，四位数，我们可记的数，便有二百五十五个，数的世界便比较繁荣了。但事实上，我们并不曾找到过用二进法、三进法或四进法记数的事例。这个理由自然容易说明，数是抽象的，实际运用的时候，需要具体的东西来表出，然而无论“近取诸身”，还是“远取诸物”，不多不少恰好可以表示，而且易于取用的东西实在没有。我们对于数的辨认从附属在自家身上的东西开始，当然更是轻而易举。于是，我们首先就会注意到手。一只手有五个指头，五进法便应运而生了。就是在所谓二十世纪的现在，我们从“野蛮”人——其实世上本无所谓野蛮，只是他们的生活不需要如我们所有的文化罢了——中还可以见到五进记数法的事实。本来五进记数法，用到五位，已可记出三千一百二十四个数，不用说生活简单的“野蛮”人已很够用，就是在我们日常生活中，三千以上的数也不大用到，不是吗？一块洋钱兑三百一十二个铜元，也不过是三千一百二十个小钱，而用大单位将数记小来，这点聪明，我们是已有的了。你闭着眼睛想一想，你在日常生活中所用得到的数，有多少是千以上的？

既知道用一只手的五个指头表数，因而产生五进记数法，进一步产生十进记数法，这在我们的老祖宗们大约不会碰到什么很大的艰难困苦的。两只手是上帝造人的时候就安排好的呀！

既可以用十个手指头表示数，因而产生十进法，两只脚也有十个指头，为什么不会一股脑儿用进去产生二十进法呢？

二十进法是有的，现时在热带上生活的人们，就有这种办法，这种办法只存在于热带，很明白地是因为那里的人赤着脚的缘故。像我们终年穿着袜儿的人，使用脚指头自然不便当了，这就是十进记数法能够征服我们的缘故。倘若我们能够像近年来暑天中的“摩登狗儿”一般赤着脚走，我敢预言若干年后一定会来一次记数革命。

二十进法，不但在现时热带地方可以找到，从各国的数字中也可以得到很好的例子。如法国人，二十叫vingt；八十叫quatre-vingts，便是四个二十，而九十叫quatre-vingt-dix，便是四个二十加一十，这都是现在通用的。至于古代，还有six-vingts，六个二十叫一百二十；quinze-vingts，十五个二十叫三百；这些都是二十进法的遗迹。又如意大利的数字，二十叫venti，这和三十trenta、四十quaranta、五十cinquanta也有着显然的区别：第一，三十、四十、五十等都是从三tre、四quattro、五cinque等来的，而二十却与二due无关系；第二，三十、四十、五十等的收声都是ta，而二十的收声却是ti。由这些比较也可以看出在意大利也有二十进法的痕迹。

五进法、十进法、二十进法都可用指头来说明它们的起源，但我们现在还使用着的数中，却有一种十二进法，不能一例看待。铅笔一打是十二支；肥皂一打是十二块；一尺有十二寸；重量的一磅有十二两；货币的一先令有十二便士；乃至于一年有十二个月；一日是十二时辰；西洋各国虽用二十四小时，但钟表上还只用十二——这些都是实际上用到的。再将各国的数字构造比较一下，更显然地看出十二进法的痕迹，且先将英、法、德、意四国从一到十九，十九个数抄在下面：

英 one two three four five six seven eight nine ten eleven twelve thirteen fourteen fifteen sixteen seventeen eighteen nineteen

法 un deux trios guatre cinq six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize dix-sept dix-huit dix-neuf

德 eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn elf zwölf dreizehn vierzehn fünfzehn sechzehn siebzehn achtzehn neunzehn

意 uno due tre quattro cinque sei sette otto nove dieci undici dodici tredici quattordici quindici sedici diciassette diciotto diciannove

将这四种数字比较一下，可以看出几个事实：

（1）在英文从一到十二，这十二个数字是独立的，十三以后才有一个划一的构成法，但这构成法和二十以后的数的不同。

（2）在法文，从一到十，这十个字是独立的。十一到十六是一种构成法，十七以后又是一种构成法，这构成法却和二十以后的数的相同。

（3）德文和英文一样。

（4）意文和法文一样。

原来就言语的系统说，法、意同属于意大利系，而英、德同属于日耳曼系，渊源本不相同。语言原可说是生活的产儿，由此我们可看出欧洲人古代所用的记数法有不少的差别，十进法、十二进法、二十进法，也许还有十六进法——中国不是也有十六两为一斤吗？倘使我们再能将其他各国的数字来比较，我想一定还可以发现这几种进位法的痕迹。

所以，倘若我们有十二个手指头的话，采用十二进法一定是必然的，就已成的习惯看来，十进法已统一了“文明”人的世界，而十二进法还可以偏安，那么十二进法一定有它非存在不可的原因。这原因是什么？依我的假想是从天文上来的，而和圆周的分割有关系。法国大革命后改用米突制^[30]，所有度量衡，乃至于圆弧都改用十进法。但度量衡法，虽经各国采用，认为极配胃口，而圆弧法还是敌不过含有十二进位的六十分法。这就可以看出十二进法有存在的必要。（详细地解说，这里不讲，我还想写一篇关于各种单位的起源的话，在那里再说。）天文在人类文化中是出现很早的，这因为在自然界中昼夜寒暑的变化，最使人类惊异，又和人类的生活关系最密切的缘故。所以倘使我们有十二个手指头，采用十二进法记数，那一定没有十进法记数偏安的余地，我们的数的世界才能真正地定于一。

（二）

倘若我们用了十二进法记数，数的世界将成怎样的一个局面呢？

先来考察一下我们已用惯了的十进记数法是怎样的一回事，为了便当，我们分成整数和小数两项来说。

例如三千五百六十四，它的构成实在是这样的：

3564=3000+500+60+4

=3×1000+5×100+6×10+4

=3×10³+5×10²+6×10+4

用a₁、a₂、a₃、a₄……来表示基本数字，进位的标准数（这里就是十），我们叫它是底数，用r表示。由这个例子看起来一般的数的记法便是：

一位：a₁，a₂，a₃，……

二位：a₁r+a₁，a₁r+a₂…a₂r+a₁，a₃r+a₂，……

三位：a₁r²+a₁r+a₁，a₂r²+a₂r+a₁，a₃r²+a₂r+a₃，……

四位：a₁r³+a₁r²+a₁r+a₁，a₂r³+a₁r²+a₁r+a₂，……

a₁r³+a₂r²+a₃r+a₄，a₁r³+a₂r²+a₃r+a₂，……

在这里有一点虽是容易明白，但却须注意，这就是数目字a₁、a₂、a₃……的个数，连0算进去应当和r相等，所以有效数字的个数比r要少1。在十进法便只有1、2、3、4、5、6、7，8、9九个；在十二进法便当有1、2、3、4、5、6、7、8、9、t（10）、e（11）十一个。

为了和十进法的十、百、千易于区别，即用什、佰、仟来表示十二进法的位次，那么，在十二进法：

7e8t=7×12³+e×12²+8×12+t

我们读起来便是七仟“依”（e）佰八什“梯”（t）。

再来看小数，在十进法如千分之二百五十四，便是：

0.254=0.2+0.05+0.004

同样的道理，在十二进法，那就是：

0.5te=0.5×0.0t+0.00e

我们读起来便是仟分之五佰“梯”什“依”。

总而言之，在十进法中，上位是下位的十倍。在十二进法，上位就是下位的十二倍，一般地，在r进法，上位便是下位的r倍。

假如我们用十二进法来代十进法，数上有什么不同呢？其实相差很是有限：第一，不过多两个数字e和t；第二，有些数记起来比较简单一些。

我们有没有方法将十进法的数改成十二进法的呢？不用说，自然是有的。不但有，而且很简便。

例如，十进法的一万四千五百二十九要改成十二进法的，只需这样做法就成了。

照前面说过的用t表示10，那么便得：(https://www.daowen.com)

十进法的14529=十二进法的84t9

读起来，就是八仟四佰梯什九，原来是五位，这里却只有四位，所以说用十二进法记数比用十进法有些数比较简单。

反转过来要将十二进法的数改成十进法的怎样呢？这却有两种办法：一是照上面一样用t去连除，二是用十二去连乘。不过在习惯了十进数除法的人，第一种方法同老脾气有些不合，比较不便当。例如要改七仟二佰一什五成十进法的，那就是这样：

7215=7×12³+2×12²+1×12+5

=（7×12²+2×12+1）×12+5

=[（7×12+2）×12+1]×12+5

=[（84+2）×12+1]×12+5

=[86×12+1]×12+5

=1033×12+5=12401

上面的方法，虽只是一个例子，其实计算的原理已很可明白了，若要给它一个一般的证明，这也很容易。

设在r₁进位法有一个数是N，要改它成r₂进位法的，又设用r₂进位法记出来，各位的数字是a₀、a₁、a₂、…、a_n-1、a_n，则

这个式子的两边都用r₂去除，所剩的数当然是相等的。但在右边除了末一项，各项都有r₂这个因数，所以用r₂去除所得的剩余便是a₀，而商是。再用r₂去除这商，所剩的便是a₁，而商是。又用r₂去除这商，所剩的便是a₂，而商是。照样做下去到剩a_n为止，于是就得：

r₁进位法的N=r₂进位法的a_na_n-1…a₃a₂a₁a₀

（三）

倘若我们一直是用十二进位法记数的，在数学的世界里将有什么变化呢？

不客气地说，毫没有两样，因为数学虽是从数出发，但和记数的方法却很少关联。若客气点说，那么这样便很天公地道了。算理是没有两样的，只是在数的实际计算上有点出入。最明白的就是加法和乘法的进位以及减法和除法的退位。自然像加法和乘法的九九表便应当叫“依依”表，也就有点不同了。例如：（24e2-t78）×143

上面的算法（1）是减，个位2减去8，不够，从什位退1下来，因为上位的1是等于下位的12，所以一共是14，减去8，就剩6。什位的e（11）退去1剩t（10），减去7剩3。佰位的4减去t，不够，从仟位退1成16，减去t（10）便剩6。

（2）先是分位乘，3乘6得18，等于12加6，所以进1剩6。其次3乘3得9，加上进位的1得t，……再用4乘6得24，恰是2个12，所以进2剩0。其次4乘3得12，恰好进1而本位只剩下位进来的2……三位都乘了以后再来加。末两位和平常的加法完全一样，第三位6加2加6得14等于12加2，所以进1剩2。

再来看除法，就用前面将十二进法改成十进法的例子。

这计算的结果和上面的一样，也是12401。至于计算的方法：在第一式，t（10）除72商8，8乘t得80，等于6个12加8，所以从72中减去68而剩6。其次t除61商7，7乘t得70，等于5个12加10，所以从61减去5t而剩3。再次t除35商4，4乘t得40，等于3个12加4，所以从35中减去34而剩1。第二、第三、第四式和第一式的算法完全相同，不过第四式的被除数10是一什在十进法应当是12，这一点应当注意。

照这除法的例子看起来，十二进法比十进法好似麻烦得多。但是，朋友！倘若你只是觉得是这样，那还情有可原，倘若你认为根本就是如此，那便是你上了你的十个小宝贝的当的缘故。上面的说明是为了你弄惯了十进法，对于十二进法，还是乍相逢，所以不得不兜圈子。其实你若从小就只懂得十二进法，你所记的自然是乘法“依依”表——见前——而不是九九乘法表。你算起来“梯”除七什二，自然会商八，八乘“梯”自然只得六什八，你不相信吗？就请你看十二进法的乘法“依依”表。

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	t	e
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	t	e
2	2	4	6	8	t	10	12	14	16	18	1t
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38
5	5	t	13	18	21	26	2e	34	39	42	47
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56
7	7	12	19	24	2e	36	41	48	53	5t	65
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83
t	t	18	26	34	42	50	5t	68	76	84	92
e	e	1t	29	38	47	56	65	74	83	92	t1

看这个表的时候，应当注意，1、2、3、…、9和九九乘法表一样的，10、20、30……却是一什（12），二什（24），三什（36）。

倘若和九九乘法表对照着看，你可以发现表中的许多关系全是一样的。举两个例子说：第一，从左上到右下这条对角线上的数是平方数；第二，最末一排第一位次第少1，在九九乘法表是9、8、7、6、5、4、3、2、1，第二位是次第多1，在九九乘法表是0、1、2、3、4、5、6、7、8，还有每个数两位的和全是比进位的底数少1，在“依依”表是“依”，在九九表是“九”。

在数学的世界中除了这些不同，还有什么差异没有？

要搜寻起来自然是有的。

第一，四则问题中的数字计算问题。

第二，整数的性质中的倍数的性质。

这两种的基础原是建筑在记数的进位法上面，当然要有些面目不同，但也不过面目不同而已。且举几例在下面，来结束这一篇玩意儿。

（1）四则中数字计算问题：例如“有二位数，个位数字同十位数字的和是六，若从这数减十八，所得的数，恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，求原数”。

解这一种题目的基本原理有两个：

（a）两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的“11”倍。如83加38得121，便是它的两数字8同3的和11的“11”倍。

（b）两位数和它的两数字对调后所成的数的差，等于它的两数字差的“9”倍。如83减去38得45，便是它的两数字8同3的差5的“9”倍。

运用这第二个原理到上面所举的例题。因为从原数减18所得的数恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，可知原数和两数字对调后所成的数的差为18，而原数的两数字的差为18÷9=2。题上又说原数的两数字的和为6，应用和差算的法则便得：

（6+2）÷2=4……十位数字，（6-2）÷2=2……个位数字，而原数为42。

解这类题目的两个基本原理，是怎样来的呢？现在我们试来考察一下。

（a）83=8×10+3，38=3×10+8

∴83+38=（8×10+3）+（3×10+8）

=8×10+8+3×10+3

=8×（10+1）+3×（10+1）

=8×11+3×11

=（8+3）×11

这式子最后的一段中，8+3正是83的两数字的和，用11去乘它，便得出“11”倍来，但这11是从10加1来的，10是十进记数法的底数。

（b）83-38=（8×10+3）-（3×10+8）

=8×10-8-3×10+3

=8×（10-1）-3×（10-1）

=8×9-3×9

=（8-3）×9

这式子最后的一段中，8-3正是83的两数字的差，用9去乘它，便得出“9”倍来。但这9是从10减去1来的，10是十进记数法的底数。

将上面的证明法，推到一般去，设记数法的底数为r，十位数字为a₁，个位数字为a₂，则这两位数为a₁r+a₂，而它的两位数字对调后所成的数为a₂r+a₁。所以

（a）（a₁r+a₂）+（a₂r+a₁）=a₁r+a₁+a₂r+a₂

=a₁（r+1）+a₂（r+1）

=（a₁+a₂）（r+1）

（b）（a₁r+a₂）-（a₂r+a₁）=a₁r+a₂-a₂r-a₁

=a₁r-a₁-a₂r+a₂

=a₁（r-1）-a₂（r-1）

=（a₁-a₂）（r-1）

第一原理（a）应当这样说：

两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的r+1倍。r是记数法的底数，在十进法为10，故r+1为“11”；在十二进法为12，故r+1为13（照十进法说的），在十二进位法便也是11（一什一）。

第二原理（b）应当这样说：

两位数和它的两数字对调后所成的数的差等于它的两数字差的r-1倍，在十进法为“9”，在十二进法为“e”。

由这样看来，前面所举的例题，在十二进法中是不能成立的，因为在十二进法中，42减去24所剩的是1t而不是18，若照原题的形式改成十二进法的，那应当是：

“有二位数，……若从这数减什梯（1t）……”

它的计算法就完全一样，不过得出来的42是十二进法的四什二而不是十进法的四十二。

（2）关于整数的倍数的性质，且就十进法和十二进法两种对照着举几条如下：

（a）十进法——5的倍数末位是5或0。

十二进法——6的倍数末位是6或0。

（b）十进法——9的倍数各数字的和是9的倍数。

十二进法——e的倍数各数字的和是e的倍数。

（c）十进法——11的倍数，各奇数位数字的和，同着各偶数位数字的和，这两者的差为11的倍数或零。

十二进法——形式和十进法的相同，只是就十二进法说的一什一在十进法是一十三。

上面所举的三项中，（a）是看了九九表和“依依”表就可明白的，（b）（c）的证法在十进法和十二进法一样，实在我们还可以给它们一个一般的证法，试以（b）为例，（c）就可照画葫芦了。

设记数法的底数为r，各位数字为a₀、a₁、a₂、…、a_n-1、a_n。各数字的和为S，则：

N=a₀+a₁r+a₂r²+…+a_n-1r^n-1+a_nrⁿ

S=a₀+a₁+a₂+…+a_n-1+a_n

N-S=a₁（r-1）+a₂（r²-1）+…+a_n-1（r^n-1-1）+a_n（rⁿ-1）

因为rn-1无论n是什么正整数都可以用r-1除尽，所以若用r-1除上式的两边，则右边所得的便是整数，设它是I，因而得

所以若N是r-1的倍数，S也应当是r-1的倍数，不然这个式子所表示的便成为一个整数等于一个整数和一个分数的和了，这是不合理的。

这是一般的证明，若把它特殊化，在十进法r-1就是9，在十二进法r-1便是e，由此便得（b）。

由这个证明，我们可以知道，在十进法中，3的倍数各数字的和是3的倍数，而在十二进法中，这却不一定，因为在十进法9是3的倍数，而在十二进法e却不是3的倍数。

从这些例子看起来，假如我们有十二个手指，我们的记数法采用十二进法，比较用十进法，无论在数的世界或在数学的世界所起的变化很是有限。而且假如我们能不依赖手指表数的话，用十二进法记数还便利些。但是我们的文明，本是手的文明，我们又怎能跳出这十个小宝贝的支配呢？

[30]米突制：即公制。