基于图2-6，含有不确定性的非线性反馈跟踪系统如图4-1所示。

图4-1　珀尔贴制冷系统的跟踪控制

由图2-4到图2-5的等效关系，可以把图4-1等效成图4-2，如图4-2所示。

图4-2　图4-1的等效图

图中令Pt=NM-1，Gt=ΔNM-1，则跟踪控制系统可以用图4-3表示。

图4-3　图4-1的等效图

在系统中e=rf-y, y=PtC（e）+Gt（u），其中，rf为参考输入信号，v是干扰信号，输出信号y需要跟踪上参考信号rf。优化跟踪问题也就是在整个反馈系统稳定的情况下，设计跟踪补偿控制器C，使得误差信号的范数尽可能小。设M-1=I，那么补偿算子C的算子空间可以表示为：

式中，Lip（Us）表示非线性Lipschitz算子在空间Us对自身的映射。设T0为使整个反馈系统稳定的补偿算子C的一个子集，T0可以表示为：

那么非线性算子是可逆的，它的逆为：

所以，

系统的误差：

优化跟踪问题也就是使误差信号最小，为此，我们制定了如下的优化设计方案。即：(www.daowen.com)

式中，C——C∈T0。

而一般情况下，算子的逆很难得到，为此我们对跟踪控制器C进行设计，

其中

所以前面求算子逆的范数的最小值的优化问题可以转化为简单的求算子的范数的优化问题也就是求

式中，Q∈T0跟踪补偿器如图所示本文设计的Q算子是结合文献[9]和[10]的思想。文献[9]中提出了将算子的逆的范数转化为算子的范数的思想，但对补偿算子的设计比较复杂。文献[10]中提出非线性反馈控制系统中跟踪补偿算子的设计可以将整个控制系统等效成PI控制，所以本书对Q的设计采用了文献[10]中的思想，设计成一个PI的形式，具体如下：

图4-4　跟踪补偿器的设计

式中，e是无理数2.71828……，a0、a1、a2、b是大于零的实数，它们的值可以由下面的方法得到。

对于珀尔贴制冷系统将已经得到的算子N和Q代入I-NQ得

由Lipschtz算子的范数的定义可知

此时整个跟踪控制器的设计问题到最后转化为求‖I-NQ‖Lip最小情况下，参数a0、a1、a2、b的值，此时我们可以用含有约束条件的粒子群优化方法来处理。