工程中由几个物体通过某种连接方式组成的有机整体,其结构若能简化成平面结构,则称为平面刚体系,如刚架结构、三铰拱、桁架等结构;当它们处于平衡状态,求解每个物体的平衡问题时,称为平面刚体系的平衡问题。求解平衡问题,实际上要看所求解的未知力的个数与平衡方程的个数是否相等,若刚体系的全部未知力的数目小于或等于独立的平衡方程的数目,此类问题称为静定问题(静力学外力平衡问题均可直接或间接转化为静定问题);反之,若刚体系的全部未知力的数目多于所列的平衡方程的数目,此类问题称为超静定问题,也称为静不定问题。求解超静定问题时,需要引入相应的变形与力之间关系的补充方程,这已超出理论力学研究的范畴,本书在材料力学部分进行讲解。

如图3-9(a)所示,作用在悬臂梁AB上面的力是平面任意力系,固定端的约束反力有3个,可列3个平衡方程,解3个未知力,此时悬臂梁是静定的。但由于悬臂梁自由端可能产生较大的变形,因此须在此增加一个支撑,如图3-13(b)所示,通过增加约束提高了结构的强度,但未知力的数目也随之增加变为4个,3个平衡方程不能求解全部的未知力,此时的问题转为超静定问题。

图3-9

平面静定刚体系一般都是用铰链连接的,其计算有以下两种方式。

(1)将每个刚体从它们的连接处拆开,对每个刚体建立相应的平衡方程,若是平面任意力系,则可列3个平衡方程;若刚体系由n个刚体组成,则可列3n个平衡方程,解3n个未知力(包括全部的约束反力和全部的内力),此种方式的优点是思路明确,缺点是工作量较大。

(2)根据求解问题的特点,首先分析整体以及各组成部分中哪个为静定的,将其选为研究对象,画受力图并列相应的平衡方程;然后选择其他部分为研究对象,画受力图并列相应的平衡方程进行求解,这样做可以减少不需要求解的未知力,工作量比第一种少。静定物体系统的计算多采用这一种方式。

例3-9　图3-10所示组合梁(不计自重)由AC和CD两部分铰接而成。已知:F=10kN,P=20kN,均布载荷q=5kN/m,梁的BD段受线性分布载荷,qo=6kN/m,图中长度单位为m。求A和B处的约束反力。

分析:若选整体为研究对象,共4个未知力,而有效方程只有3个;若选AC为研究对象,共5个未知力,而有效方程只有3个;若选CD为研究对象,共3个未知力,有效方程有3个。所以,选CD为研究对象进行求解最为简单。

解:(1)选梁CD为研究对象,作用在其上的力有:集中力F,分布载荷qo,点B处的约束反力FB,如图3-10(b)所示。列平衡方程

解得FB=9kN。

(2)选整体为研究对象,作用在其上的主动力有:集中力F和分布载荷q;约束反力为固定端A的两个垂直分力FAx、FAy和力偶矩MA,如图3-10(c)所示。列平衡方程

解得,FAx=0,FBy=29kN,MA=22.5kN·m,方向如图3-10所示。

图3-10

例3-10　图3-11所示构架由直杆BC、CD及直角弯杆AB组成,各杆自重不计,载荷分布及尺寸如图。销钉B穿透AB及BC两构件,在销钉B上作用一铅垂力F。已知q、a、M,且M=qa2。求固定端A的约束力及销钉B对杆BC、杆AB的作用力。

解:(1)选CD为研究对象,作用在其上的主动力有:均布载荷q;约束反力为铰链C处的两个垂直分力FCx、FCy,铰链D处的两个垂直分力FDx、FDy,　如图3-11(b)所示。列平衡方程

解得FCx=

(2)选BC为研究对象,作用在其上的主动力有:力偶矩M;约束力为铰链C处的两个垂直分力FCx、FCy和铰链B处的两个垂直分力FBCx、FBCy,如图3-11(c)所示。列平衡方程(www.daowen.com)

解得FBCx=FCx=,FBCy=qa。

(3)选销钉B为研究对象,作用在其上的力如图3-11(d)所示。列平衡方程

解得FBAx=FBCx=FBAy=qa+F。

(4)选直角弯杆AB为研究对象,作用在其上的主动力有:分布载荷q;约束力反为固定端A两个垂直分力FAx、FAy和力偶矩MA,铰链B处的两个垂直分力FBAx、FBAy,如图3-11(e)所示。列平衡方程

解得FAx=-qa,FAy=F+qa,MA=qa2+Fa。

图3-11

例3-11　图3-12所示结构由AB、BC与CE这3个构件构成。E处有一滑轮,细绳通过该轮悬挂一重为1.2kN的重物。尺寸如图3-12所示,不计杆件与滑轮的质量,长度单位为m。求支座A和B处的约束反力,以及杆BC的内力FBC。

解:(1)选整体为研究对象,作用在其上的主动力是重力P和绳子拉力F,约束反力为固定铰支座A的垂直分力FAx、FAy和滑动铰链B处的力FB,如图3-12(b)所示。列平衡方程

解得FB=1.05kN,FAx=1.2kN,FAy=0.15kN。

(2)选杆AB为研究对象,受力图如图3-12(c)所示。列平衡方程

解得FBC=1.5kN。

图3-12

总之,求解平面刚体系的平衡问题时,应注意作用力与反作用力的关系,当选择的研究对象的作用力方向一经假定,则反作用力的方向必相反,这一点初学者要注意。

思政提示

任何物体、事物之间都是相互联系、相互依存的。事物之间达到平衡,就可以和谐共处,如果系统平衡遭到破坏,则会发生如火山爆发、山崩、海啸、地震、暴雨、流行病等灾难性事件。因此,人类在发展过程中,应该风雨同舟、荣辱与共,努力把我们生于斯、长于斯的星球建成一个和睦、平衡的大家庭,把世界各国人民对美好生活的向往变成现实,构筑人类命运共同体。