平面向量的基本定理和坐标表示优化

如果是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且仅有一对实数λ1,λ2,使

方法简述

1.利用定义

例1图

例1 如图所示,不平行的三个向量有公共起点O,且满足

求证:三个向量的终点在一条直线上的充要条件是λ+μ=1.

证明 ①充分性:

所以三个向量的终点A,B,C三点在一条直线上.

②必要性:

若三个向量的终点A,B,C三点在一条直线上,则

即

∴,则λ+μ=1.

综上所述三个向量的终点在一条直线上的充要条件是λ+μ=1.

反思 在必要性证明中,,又,而得到,这是因为,且是两个不平行的向量,由平面向量分解定理的唯一性,系数分别相等得到

2.数形结合

例2图

例2 如图所示,设P,Q为△ABC内的两点,且,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(　).

A.　B.　C.　D.

点拨 可以从向量加法的几何意义的应用出发进行研究.

例2答图

解答 如图所示,设,则.由平行四边形法则可知,NP∥AB,所以,同理可得.故选B.

反思 可利用向量的加法的平行四边形法则进行转化.

3.方程思想

例3图

例3 如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动,且∠AOB=120°.若,其中x,y∈R,则x+y的最大值是______.

点拨 可利用向量数量积建立方程组解题.

解答 设∠AOC=

即

∴x+y=2[cosα+cos(120°-α)]=,即x+y的最大值是2.

反思 本题主要考查向量数量积的运用,从而建立方程组,通过解方程组解决问题.

4.归纳法(https://www.daowen.com)

例4 已知直线y=3-x上两个点A(0,3),C(3,0).

(1)若,试确定D点与直线y=3-x的位置关系.

(2)已知点B(1,2)是直线y=3-x上的一点,是否存在实数m,n使向量,如果存在,请求出m+n的值;如果不存在,则请说明理由.

(3)研究(1)(2)问题的条件与结论,请提出一个更一般的命题,并研究该命题是否为真命题.

点拨 利用向量相等的概念求解(1)和(2),并在这两个结果的基础上进行归纳,从而研究(3).

解答 (1)D(4,-1),在直线y=3-x上.

(2)由(1,2)=(0,3m)+(3n,0)得

(3)平面上A,B,C三点共线,及直线外一点O,的充要条件是m+n=1,为真命题.

反思 本题要用到两向量相等的坐标要求,即横、纵坐标均相等.(1)(2)两题结论的正确性决定了(3)归纳的结论是否正确.

易错解读

例5图

例5 如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且时,y的取值范围是________.

例5答图

解答 如图所示,过点P分别作OB,OA的平行线,分别交直线OA,OB于点E,F.

∴.∵x=,∴OE=.由题可知P点在线段MN上移动,则F点介于F1,F2之间.由三角形相似可得F1处,F2处,所以

易错分析 根据范围确定系数y时要熟悉相似三角形的比的关系.

经典训练

1.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若,则λ=________.

2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且,那么k=________.

第3题图

3.如图所示,平面内有三个向量,其中的夹角为120°的夹角为30°,且,若,则λ+μ的值为________.

第4题图

4.如图所示,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界).若,且点P落在第Ⅲ部分,则实数a,b满足(　).

A.a>0,b>0　B.a>0,b<0

C.a<0,b>0　D.a<0,b<0

5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量,其中=(3,1),=(1,3).若,且0≤λ≤μ≤1,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　).

6.已知=(-1,2),=(1,-1),=(3,-2),且,求实数p,q的值.

7.已知是不共线的向量,若向量共线,求实数k的值.

8.已知是不共线的向量,试用表示.