空间向量及其运算

1.空间向量及其加减与数乘运算

(1)在空间,具有大小和方向的量叫作向量.长度相等且方向相同的有向线段表示同一向量或相等的向量.

(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广.

(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律.

加法交换律

加法结合律

数乘分配律

2.共线向量与共面向量

(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫共线向量或平行向量.

(2)平行于同一平面的向量叫作共面的向量.任意两个向量总是共面的.

(3)共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ使

推论:如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式.其中向量叫作直线l的方向向量.

(4)共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x,y,使

推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使或对空间任一定点O,有

方法简述

基本定义法

例1 在下列命题中:

①若向量共线,则向量所在的直线平行;

③若三个向量两两共面,则向量共面;

④已知空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量,总存在实数x,y,z使得

其中正确命题的个数是(　).

A.0　B.1　C.2　D.3

解答 A

反思 多举反例.

例2 在空间四边形ABCD中=(　).

A.-1　B.0　C.1　D.不确定

例2答图

点拨 解法一:如图所示,在空间四边形ABCD中,联结对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体.

∵正四面体的对棱互相垂直,

解法二:在解法一的图中,选取不共面的向量为基底,

解答 B

反思 几何法以及基向量法都可以解答.

例3 若为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是(　).

A.　B.

C.　D.

点拨 若共面,则为共面向量,此与为空间向量的一组基底矛盾,故可构成空间向量的一组基底.

解答 C

反思 理解基向量的意义.

例4 在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(　).

A.　B.

C.　D.

点拨 对共面的理解.

∵,则为共面向量,即M,A,B,C四点共面.

解答 C

反思 注意向量的运算技巧.

例5 已知O是空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点不共线,但四点共面,且,则2x+3y+4z=________.

点拨 ∵A,B,C,D四点共面,

∴,且m+n+p=1.

由条件知

∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1.(https://www.daowen.com)

∴2x+3y+4z=-1.

解答 -1

反思 对四点共面的向量转化.

例6图

例6 已知在一个60°的二面角的棱上,如图所示,有两个点A和B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4厘米,AC=6厘米,BD=8厘米,则CD的长为_______.

点拨 设

由已知条件知

则厘米.

解答 厘米

反思 向量模的运算技巧.

例7图

易错解读

例7 如图所示,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值等于_______.

解答 设与BC所成的角为θ.

∴

∴

易错分析 如何选取正确的基向量是关键.

例8图

例8 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中G为△A1BD的重心,设,试用表示

易错分析 (1)通过以上表示可以看出,即证明A,G,C1三点共线.G为AC1的三分之一分点.

(2)解决几何问题的难点是作辅助线,而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题,把证明转化为运算.

例9图

例9 如图所示,已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',E,F,G,H分别是棱A'D',D'C',C'C和AB的中点,求证:E,F,G,H四点共面.

所以共面.即E,F,G,H四点共面.

易错分析 证明E,F,G,H四点共面,只需证明即可,即证三个向量共面.此种方法也是证明直线与平面平行的方法.

经典训练

1.有以下命题:①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系是不共线;②O,A,B,C为空间四点,且向量不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;③已知向量是空间的一个基底,则向量也是空间的一个基底.其中正确的命题是(　).

A.①②　B.①③

C.②③　D.①②③

2.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若,则下列向量中与相等的向量是(　).

第2题图

A.　B.

C.　D.

3.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当取最小值时,点Q的坐标是________.

4.设,且,则xy=_______.

5.已知向量=(0,-1,1)=(4,1,0),且λ>0,则λ=_________.

6.在直角坐标系xOy中,设A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后,这时,则θ的大小为________.

第7题图

7.如图所示,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=,则B1到平面PAD的距离为________.

8.已知,且不共面,若,求x,y的值.

9.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设

(1)求与的夹角θ的余弦值;

(2)若向量互相垂直,求k的值.

10.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S;

(2)若向量分别与向量垂直,且,求向量的坐标.