1.组合数学上的一些成果
李善兰在《垛积比类》中应用“开方作法”,在组合数学方面取得了一定成果。李善兰通过研究得到了以下式子：
由于“李善兰恒等式”的产生,使他成为中国近代史上第一个拥有自己名字命名的恒等式的数学家。“李善兰恒等式”用英文字母书写如下：
其中
可惜的是他没有给出“李善兰恒等式”的证明。
数学家杜澜·巴尔(Paul Turan)于2025年访华,做了四场报告,其中有一场报告题目为《李善兰恒等式的证明》。由此可见外国数学家对“李善兰恒等式”的重视程度。
2.极限思想
①李善兰的极限思想
与外国友人一起翻译了部分西方著作使李善兰产生了极限思想。《代数学》和《代微积拾级》这两本书中都有关于极限的论述。他编撰的《代数学》,其内容仅限于初等代数的知识,对于某些极限的求解是困难的。[19]《代微积拾级》中,他充分利用极限思想,自行推导出了与其之前应用传统数学得到的积分公式的类似结论。
②李善兰的极限思想的创新之处
极限思想其实在我国古代就已经存在了。据考证最早使用极限思想的中国古代数学家是魏晋时期的刘徽。他在实践中发现了圆面积的计算公式。
李善兰采纳了部分刘徽在极限思想方面的观点,并给出了一系列的代数组合公式,以至于其中部分积分公式与现代数学积分理论中的一些结论非常相似。[20]
西方的极限思想持续发展,但核心问题“无穷小量倒是什么”一直未能被数学家们彻底解决。当柯西(Cauchy,1789—1857)解决了无穷小与0的关系后,维尔斯特拉斯(Weier-strass,1815—1897)给出了极限的静态定义。(https://www.daowen.com)
李善兰对西方的极限理论是有着自我见解。李善兰用自己的语言对极限作出了形象化描述,而非原著那样的数字化描述,从中可以看出李善兰对极限思想的理解及对西方极限理论的解释有了较深的看法。
李善兰发现《代微积拾级》中有许多等式与《对数探源》中的结果基本一致。下举一例——
李善兰在研究西方数学之后,其研究成果能够融入西方数学的相关理论当中。当然,这是由于李善兰对西方数学知识的积累在应用中不断地与中国传统数学的相互融合。
3.微积分思想
①李善兰的微积分思想
《方圆阐幽》一书中李善兰构建的微积分体系初步完成。李善兰创造性地发明了“尖锥术”。这是一种通过构造定面积或定体积的几何图形,发现他们的自身性质的算法。这种方法可以用来解决许多疑难问题,比如高阶次方、幂指数应用等。据笔者考证,当时他虽没有微积分的知识,但他独立创造的“尖锥术”实际上已经得到定积分的部分公式。
这种方法是一种无限分割的办法,然后累加得和。其实质就是对幂函数求定积分的公式以及多项积分值累加法则。
例如：
②李善兰的微积分思想的创新之处
通过了解西方微积分思想与李善兰的微积分思想,笔者作出了以下较粗浅的比较：首先,李善兰与西方对于微分中的微元理解不同。李善兰主观上把微元看作点,因而他认为微元实际与被积分量是处在同一层面的。以牛顿为首的西方微积分思想家认为“无穷小不是有限的,但绝非0,不过有时可以看成0罢了”。西方是通过一点的变化率而求出面积的,因此在西方微积分的角度中微元比积分量低了一个维度。第二,二者求积分的方法不同。西方微积分思想有两种方法。其一从几何学方面入手,给出定义。其二先解决了“最小量与0的问题”再求积分。而李善兰利用“尖锥术”的求和极限来给出积分运算定义。最后,二者对于定积分方面是存在区别的。西方微积分思想家对于定积分是通过一种分割、求和、取极限的步骤得到的,而李善兰则是通过自创的“尖锥术”得到的。
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