2016考研数学一真题精讲及热点分析

一、选择题（第1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.）

（1）设函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，其2阶导函数f″（x）的图形如下图所示，则曲线y=f（x）的拐点个数为

（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.

（2）设

[ ]是2阶常系数非齐次线性微分方程y″+ay′+by=ce^x的一个特解，则

（A）a=-3，b=2，c=-1. （B）a=3，b=2，c=-1.

（C）a=-3，b=2，c=1. （D）a=3，b=2，c=1.

[ ]

（3）若级数条件收敛，则与x=3依次为幂级数的

（A）收敛点，收敛点. （B）收敛点，发散点.

（C）发散点，收敛点. （D）发散点，发散点.

[ ]

（4）设D是第一象限中曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，围成的平面区域，函数f（x，y）在D上连续，则

[ ]

（5）设矩阵，，集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多个解的充分必要条件为

（A）a∉Ω，d∉Ω. （B）a∉Ω，d∈Ω.

（C）a∈Ω，d∉Ω. （D）a∈Ω，d∈Ω.

[ ]

（6）设二次型f（x₁，x₂，x₃）在正交变换x=Py下的标准形为2y²₁+y²₂-y²₃，其中x=（x₁，x₂，x3）^T，y=（y₁，y₂，y3）^T，P=（e₁，e₂，e₃）.若Q=（e₁，-e₃，e₂），则f（x₁，x₂，x₃）在正交变换x=Qy下的标准形为

（A）2y²₁-y²₂+y²₃. （B）2y²₁+y²₂-y²_3.

（C）2y²₁-y²₂-y²₃. （D）2y²₁+y²₂+y²_3.

[ ]

（7）若A，B为任意两个随机事件，则

（A）P（AB）≤P（A）P（B）. （B）P（AB）≥P（A）P（B）.

[ ]

（8）设随机变量X，Y不相关，且EX=2，EY=1，DX=3，则E[X（X+Y-2）]=

（A）-3. （B）3. （C）-5. （D）5.

[ ]

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分.）

（11）若函数z=z（x，y）由方程e^z+xyz+x+cosx=2确定，则dz（0，1）=____.

（12）设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则

（13）n（n≥3）阶行列式(https://www.daowen.com)

（14）设二维随机变量（X，Y）服从正态分布N（1，0；1，1；0），则P（XY-Y＜0）=____.

三、解答题（15～23小题，共94分.解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分10分）

设函数f（x）=x+aln（1+x）+bxsinx，g（x）=kx³.若f（x）与g（x）在x→0是等价无穷小，求a，b，k值.

（16）（本题满分10分）

设函数f（x）在定义域I上的导数大于零，若对任意的x₀∈I，曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与直线x=x₀及x轴所围成的区域D的面积为4，且f（0）=2，求f（x）的表达式.

（17）（本题满分10分）

已知函数f（x，y）=x+y+xy，曲线C：x²+y²+xy=3，求f（x，y）在曲线C上的最大方向导数.

（18）（本题满分10分）

（Ⅰ）设函数u（x），v（x）可导，利用导数定义证明

[u（x）v（x）]′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）′；

（Ⅱ）设函数u₁（x），u₂（x），…，u_n（x）可导，f（x）=u₁（x）u₂（x）…u_n（x），写出f（x）的求导公式.

（19）（本题满分10分）

已知曲线L的方程为，起点为A（0，，0），终点为，计算曲线积分

（20）（本题满分11分）

设向量组α₁，α₂，α₃是3维向量空间RR³的一个基，β₁=2α₁+2kα₃，β₂=2α₂，β₃=α₁+（k+1）α_3.

（Ⅰ）证明向量组β₁，β₂，β₃是R³的一个基；

（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量ξ在基α₁，α₂，α₃与基β₁，β₂，β₃下的坐标相同，并求出所有的ξ.

（21）（本题满分11分）

设矩阵相似于矩阵

（Ⅰ）求a，b的值.

（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角阵.

（22）（本题满分11分）

设随机变量X的概率密度为

对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数.

（Ⅰ）求Y的概率分布；

（Ⅱ）求EY.

（23）（本题满分11分）

设总体X的概率密度为θ≤x≤1，其他，其中θ为未知参数，X₁，X₂，…，X_n为来自该总体的简单随机样本.

（Ⅰ）求θ的矩估计量.

（Ⅱ）求θ的最大似然估计量.