2016考研数真题精讲：二重积分计算方法

设f（x，y）是有界闭区域D上的连续函数，则二重积分可按以下步骤计算：

（1）画出D的简图，根据D的对称性，化简：当D具有某种对称性时，如果f（x，y）在对称点处的值互为相反数，则0；如果f（x，y）在对称点处的值彼此相等，则（其中D₁是D按对称性划分成的两部分之一）.

记化简后的二重积分仍为

（2）根据D将二重积分转换成二次积分：

如果D={（x，y）y₁（x）≤y≤y₂（x），a≤x≤b}（X-型），则

如果D={（x，y）x₁（y）≤x≤x₂（y），c≤y≤d}（Y-型），则

如果D是以原点为顶点的角域{（r，θ）r₁（θ）≤r≤r₂（θ），0≤θ₁≤θ≤θ₂≤2π}，用极坐标计算，此时

如果D不是上述三种形式的积分区域，则用若干条与y轴平行的直线（或与x轴平行的直线，或从原点出发的射线）将D划分成若干小块，使每一块为Y-型（或X-型，或角域），然后把每一小块上的二重积分化为二次积分.

（3）计算二次积分例如，对于，先将x看做[a，b]上的某个固定点计算定积分，然后再计算定积分

例5.1 计算下列二重积分：

（1），其中D={（x，y）0≤x≤2，0≤y≤2}；

（2）σ，其中D={（x，y）x+y≤2，x≥0，y≥0}及

精解 （1）曲线xy=1将D分成D₁与D₂两部分（如图C-5-1所示），并且，在D上

所以

图 C-5-1

（2）用直线x+y=1将D划分成D₁与D₂两部分（如图C-5-2所示），则

图 C-5-2

例5.2 计算下列二重积分：

（1）σ，其中D={（x，y）x²+y²≤1，x≥0}；

（2），其中D={（x，y）x²+y²≤2，x＞0，y＞0}，[u]表示不超过u的最大整数；

（3），其中D={（r，θ）0≤r≤secθ，

精解 （1），其中，

因此

（2）用圆x²+y²=1将D划分成D₁={（x，y）x²+y²＜1，x＞0，y＞0}与D₂={（x，y）1≤x²+y²≤2，x＞0，y＞0}，则在D上，所以

其中

图 C-5-3

={（x，y）0≤y≤x，0≤x≤1}（如图C-5-3阴影部分所示），所以

例5.3 计算下列二重积分：

（1）σ，其中D={（x，y）（x-1）2+（y-1）2≤2，y≥x}；

（2），其中D={（x，y）0≤x≤2，-1≤y≤1}.

精解 （1）D如图C-5-4阴影部分所示，它是角域的一部分，所以用极坐标计算所给的二重积分：(https://www.daowen.com)

图 C-5-4

（2）由于D关于x轴对称，在对称点处的值彼此相等，所以，其中D₁={（x，y）0≤x≤2，0≤y≤1}是D的上半平面部分，如图C-5-5所示.用直线y=x将D₁划分成D₂与D₃两部分（其中D₂，D₃分别位于直线上方与下方），则

图 C-5-5

5.2 三重积分的计算

设f（x，y，z）是空间有界闭区域Ω上的连续函数，则三重积分可按以下步骤计算：

（1）根据Ω的对称性，化简

当Ω具有某种对称性时，如果f（x，y，z）在对称点处的值互为相反数，则0；如果f（x，y，z）在对称点处的值彼此相等，则（其中Ω1是Ω按对称性划分成的两部分之一）.化简后的三重积分仍记为

（2）根据Ω将三重积分转换成一个定积分与一个二重积分.

这里有“先一后二”和“先二后一”两种转换方法.

例如，Ω={（x，y，z）z₁（x，y）≤z≤z₂（x，y），（x，y）∈D_xy}（其中D_xy是Ω在xOy平面的投影），则

又例如，Ω={（x，y，z）（x，y）∈D_z，c≤z≤d}（其中D_z是Ω的竖坐标为z的截面在xOy平面的投影），则

此外，当Ω是角域的一部分{（r，θ，φ）r₁（θ，φ）≤r≤r₂（θ，φ），φ₁（θ）≤φ≤φ₂（θ），θ₁≤θ≤θ₂}时，用球面坐标计算，此时

（3）计算以上各式右边的积分.例如，对于，先将（x，y）看做D_xy上的某个固定点，计算定积分，然后计算二重积分

例5.4 计算三重积分，其中Ω是由曲面z=xy及平面y=x，x=1和y=0，z=0围成的立体.

精解 Ω是曲顶柱体，其曲顶为z=xy，底面D_xy是xOy平面上由直线y=x，y=0，x=1围成的三角形，母线与z轴平行，所以

例5.5 计算下列三重积分：

（1），其中Ω={（x，y，z）x²+y²+z²≤1}；

（2），其中Ω是球x²+y²+z²≤4与x²+y²+z²≤4z的公共部分.

精解 （1）用球面坐标计算

由于Ω关于yOz平面对称，xy在对称点处的值互为相反数，所以

下面计算由于球面x²+y²+z²=4与x²+y²+z²=4z的交线为{，即，它位于平面z=1上，故用平面z=1将Ω划分成Ω₁与Ω₂两部分，其中Ω₁与Ω₂分别位于平面z=1的上方与下方，且

Ω₁={（x，y，z）x²+y²≤4-z²，1≤z≤2}，

Ω₂={（x，y，z）x²+y²≤4z-z²，0≤z≤1}.于是

将式（2）、式（3）代入式（1）得

例5.6 设Ω={（x，y，z）x²+y²+z²≤1}，求三重积分

精解其中

下面计算由于π：x+y+z=0是通过原点的平面，所以Ω关于π对称.设Ω上的点M₀（x₀，y₀，z₀）与M₁（x₁，y₁，z₁）互为对称点，则的中点

位于π上，所以有，即x₀+y₀+z₀=-（x₁+y₁+z₁）.

由此可知tan（x+y+z）在对称点处的值互为相反数，因此

将式（2）、式（3）代入式（1）得