二维连续型随机变量概率密度计算方法

设（X，Y）是二维连续型随机变量，f（x，y）与F（x，y）是它的概率密度与分布函数，则

（X，Y）的边缘概率密度：

（X，Y）的条件概率密度：

对f_Y（y）≠0的任意y有，

对f_X（x）≠0的任意x有

例14.1 设随机变量X的概率密度为

求Y=X²的概率密度.

精解 先计算Y的分布函数F_Y（y），然后求导算出Y的概率密度f_Y（y）.

按分布函数的定义F_Y（y）=P（Y≤y）=P（X²≤y）.

当y＜0时，P（X²≤y）=P（∅）=0；当y≥0时，于是

当0≤y＜1时，；

当1≤y＜4时，；

当y≥4时，

因此，

从而

例14.2 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求：（1）（X，Y）的边缘概率密度f_X（x），f_Y（y）；

（2）随机变量Z=2X-Y的概率密度f_Z（z）.

精解 （1）记D={（x，y）0＜x＜1，0＜y＜2x}（如图C-14-1阴影部分所示），则f（x，y）仅在D上取值为1，在xOy平面的其他部分取值为0.于是(https://www.daowen.com)

图C-14-1

（2）Z=2X-Y的概率密度

其中

所以，

例14.3 设在随机变量Y=y∈（0，1）的条件下，随机变量X的条件概率密度为

而Y的概率密度为

求X的概率密度f_X（x）.

精解 先算出（X，Y）的概率密度f（x，y），然后再计算f_X（x）.

所以，

例14.4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求随机变量U=max{X，Y}的概率密度f（u）.

精解 记U的分布函数为F（u），则

其中D_u={（x，y）x≤u，y≤u}.此外，记D={（x，y）0＜x＜y}.于是

当u≤0时，

当u＞0时，

所以，

因此，