线积分、面积分与体积积分-电磁场基本原理

曲线AB被n个等分点P_i分割为微小弧

线积分的定义

●有连续函数f（x，y，z）和曲面S存在

曲面S被分割成n个微小的部分

面积分的定义

●有连续函数f（x，y，z）和体积V存在

体积V被分割成n个微小的部分

体积积分的定义

注：线积分、面积分和体积积分在电量计算中会经常用到

[1]切线线积分

矢量场A（x，y，z）中存在曲线PQ时，在其曲线上的一点的矢量A及该点的微小线段的切线矢量dl的内积的线积分为

A_l：A在l方向（切线方向）分量

dl=idx+jdy+kdz

[2]法线面积分

矢量场A（x，y，z）中存在曲面S时，在该曲面上一点的矢量，A及该点的微小部分的单位法线矢量n₀的内积的面积分为

∫_SA·n₀dS=∫_SA_ndS

A_n：A的曲面S的法线方向分量

矢量场中的切线积分与法线面积分为切线矢量、法线矢量的内积的积分

线积分

如设空间的连续函数为f（x，y，z），某曲线为AB，则将该曲线用点P₁、P₂，…，P_n，分割为n个微小的弧，该弧的各个长度为Δl_i（i=0，1，2，…，n）。在各弧上的点（x_i，y_i，z_i）的f（x_i，y_i，z_i）Δl_i的和，就是当n→∞、Δl_i→0时沿曲线AB的线积分。

面积分(https://www.daowen.com)

设空间的连续函数为f（x，y，z）、某曲面为S，则将该曲面分割为n个微小部分，该微小部分的各个面积就为ΔS_i（i=1，2，…，n）。在各个微小部分上的点（x_i，y_i，z_i）的f（x_i，y_i，z_i）ΔS_i的和，就是当n→∞、ΔS_i→0时在曲面S上的面积分。

体积积分

若设空间的连续函数为f（x，y，z），用曲面围成的体积为V，则将该体积分割为n个微小部分，该微小部分的各个体积为ΔV_i（i=1，2，…，n）。在各个微小部分中点（x_i，y_i，z_i）的f（x_i，y_i，z_i）ΔV_i的和，就是当n→∞，ΔV_i→0时体积V的体积积分。

如果某物理量用体积密度ρ（x，y，z）在空间内连续分布时，则任意空间内的该物理量的总量可以通过体积积分来求得。

在空间内任意一点（x，y，z），当x坐标由x变为x+dx，y坐标由y变为y+dy，z坐标由z变为z+dz时，空间内的任意一点（x，y，z）做成微小部分，该微小部分的体积dV可表示为

dV=dxdydz

该微小部分的物理量dF由于其体积密度ρ（x，y，z）是空间内某点的单位体积的物理量，于是有

dF=ρ（x，y，z）dV=ρ（x，y，z）dxdydz

在x坐标由0增加到x，y坐标由0增加到y，z坐标由0增加到z时构成的空间内，该物理量的总量F为

若某物理量的面密度ρ（x，y，z）为连续的分布函数，则任意曲面上的该物理量的总量可通过面积分求得。若某物理量的线密度ρ（x，y，z）为连续的分布函数，则任意曲线上的物理量的总量可通过线积分求得。

例题1

A=（x-1）i+（y+1）j+zk表示一个空间矢量，试求在上图所示的xyz正交坐标系上，从点P（1，-2，3）到点Q（2，4，-6）的线积分的值。

【例题1解】

内积A·dl为

从点P（1，-2，3）到点Q（2，4，-6）的线积分为

例题2

试求半径为r的球面的闭合曲面上的函数f（x，y，z）=a的面积分。

【例题2解】

面积分为