微积分典型例题解析-微积分典型例题与解法

1．若级数处收敛，则在×处，必有（）．

A．绝对收敛 B．条件收敛 C．发散 D．敛散性不能确定

解 令ｔ＝×-1，级数在ｔ＝-2时收敛，故在｜ｔ｜＜2时绝对收敛，即原级数在-1＜×＜3时绝对收敛，所以答案为A．

2．设级数在×＝2处发散，在×＝-1处收敛，求级数-1）N的收敛半径和收敛域．

解 令，×＝2时级数在发散，在ｔ＝级数收敛，所以级数的收敛半径为，｜ｔ｜＜，，所以收敛域为×∈．

3．求下列幂级数的收敛区间．

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

（7）

解 （1）由于，所以Ｒ＝1，收敛区间为（-1，1）．

（2）由于，所以Ｒ＝+∞，收敛区间为（-∞，+∞）．

（3）由于，所以Ｒ＝0，级数只在×＝0收敛．

（4）由于，所以Ｒ＝3，收敛区间为（-3，3）．

（5）由于，所以，收敛区间．

（6）由于，所以收敛区间为（-2，2）．

（7）由于，所以Ｒ＝1，收敛区间为（4，6）．

4．求下列幂级数的收敛域．

（1） （2） （3）

（4）

解 （1），所以Ｒ＝1，×＝1时，发散；×＝-1时，收敛，故收敛域为［-1，1）．

（2），所以Ｒ＝3，×＝3时，收敛，×＝-3时，级数发散，故收敛域为（-3，3］．

（3）令2×-3＝ｔ，，ｔ＝1时，级数收敛，ｔ＝-1时，级数发散，所以级数收敛，级数的收敛域为（1，2］．

（4）令，，，时，级数收敛，，级数发散，级数在收敛，故级数的收敛域为（0，1］．

5．求幂级数的和函数，并求的和．

解 令，，｜×｜＜1．所以，｜×｜＜1．当时，，所以．

6．求幂级数的收敛域，和函数，并求的和．

解，该幂级数的收敛域为（-∞，+∞），

而，又因为，所以，×＝0，S（0）＝0．×＝4时，．

7．求下列幂级数的和函数．

（1） （2） （3）

解 （1）令，，｜×｜＜1故有，×∈（-1，1）．

（2）令，则

令，则有

所以，，

因此，×∈（-1，1）．（3）令，则．(https://www.daowen.com)

而，×∈（-1，1］，则，×∈［-1，1），所以有，×∈［-2，2）故，×∈［-2，0）∪（0，2）

8．利用已知的展开式把下列函数展开成关于×的幂级数，并求收敛区域．

（1）f（×）＝CoS²× （2）f（×）＝׳e-×

（3） （4）f（×）＝ｌN（1+×-2ײ）

（5） （6）

解 （1）

（2）因为，所以有，×∈（-∞，+∞）

（3）

（4）因为，×∈（-1，1］，而

（5）解法一 因为，×∈（-1，1］

故

解法二

（6）因为

所以．

9．将函数展开成×-1的幂级数．

解

10．将函数展开成×-1的幂级数，并求f^（N）（1）．

解

有级数展开中系数与高阶导数的关系知．

11．将函数展开为×的幂级数，给出收敛域，并求级数的和．

解 因为

所以，×∈（-∞，+∞）．

12．将函数展开为×的幂级数，给出收敛域，并求级数的和．

解 因为，×≠0，故有，×∈（-∞，0）∪（0，+∞）

13．利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值．

（1）ｌN 2，误差不超过0．0001．

（2），取幂级数展开式的前三项计算．

解 （1）因为，×∈（-1，1），令，解得，故有

故取N＝4，则

（2）因为，×∈（-∞，+∞），所以有，×∈（-∞，+∞）

故，×∈（-∞，+∞）．

因此．

所以．