1.2.8 利用介值定理的证明题（例1.50—1.54）
例1.50（浙江省2011年竞赛题） 证明：［x3］+x2=［x2］+x3存在一个非整数解，其中［x］表示不大于x的最大整数.
解析 令
f（x）=x3-x2+［x2］-［x3］
由于
时，［x2］=2，［x3］=3，于是
f（x）=x3-x2+2-3=x3-x2-1
显见f（x）在
上连续.由于
应用零点定理，必
，使得f（ξ）=0.由于
故ξ∈（1，2），即f（x）=0至少有一个非整数解，于是［x3］+x2=［x2］+x3至少存在一个非整数解.
例1.51（北京市1992年竞赛题） 已知
求证：（1）对于任何自然数n，方程
在区间
中仅有一根；
（2）设
满足
解析 （1）已知
且
0，则由介值定理知，对于
存在
，使得
又
因此fn（x）在
上严格递减，故xn是惟一存在的.
（2）由
，得
故存在正整数N，当n＞N时，有
由于fn（x）严格递减，所以
令n→∞，则
，应用夹逼准则可得
例1.52（浙江省2008年竞赛题） （1）证明fn（x）=xn+nx-2（n为正整数）在（0，+∞）上有惟一正根an；（2）计算
解析 （1）由于fn（0）=-2＜0，
，故在
上应用零点定理，
，使fn（an）=0.又
（x）=nxn-1+n＞0，x∈（0，+∞），即fn（x）在（0，+∞）上严格单调增，故在（0，+∞）上有惟一正根an.
（2）由n∈N＊得
故
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进一步得
，因此
令n→∞，则
应用夹逼准则知
例1.53（北京市1994年竞赛题） 设fn（x）=x+x2+…+xn（n=2，3，…）.证明：（1）方程fn（x）=1在［0，+∞）内有惟一的实根xn；（2）求
解析 （1）由题可知fn（x）在［0，1］上连续，且fn（0）=0，fn（1）=n＞1.由介值定理知，∃xn∈（0，1），使得fn（xn）=1.又
（x）=1+2x+…+nxn-1＞0，x≥0，即fn（x）在［0，+∞）上严格递增，故fn（x）=1在［0，+∞）内有惟一的实根xn.
（2）由（1）知，∀n≥2，有0＜xn＜1，故数列｛xn｝是有界的.又fn（xn）=1=fn+1（xn+1），即
移项得
故xn＞xn+1，即数列｛xn｝单调减少.据单调有界准则知数列｛xn｝收敛.
由
，应用夹逼准则，得
.又
令xn→A（n→∞），则
.解得
，所以
例1.54（精选题） 已知函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，且f（a）=f（b），求证：∃ξ∈（a，b），使得
解析 令
则
由此可得
（1）当
（2）当
时，应用零点定理，
，使得F（ξ）=0，即
