3.2.2 求不定积分（例3.5—3.19）
例3.5（江苏省1998年竞赛题） 求
解析 当x＞1时，应用分部积分法，有
当0＜x＜1时，应用分部积分法，有
在两式中令x=1得-1+C=1+C1，故C1=C-2.于是
例3.6（北京市1995年竞赛题） 设y是由方程y3（x+y）=x3所确定的隐函数，求
解析 令x=ty，代入原方程有（1+t）y4=t3y3，从而
所以
例3.7（浙江省2009年竞赛题） 求
解析 因为（xlnx-x）′=lnx，令x（lnx-1）=t，应用换元积分法，则
例3.8（江苏省2000年竞赛题） 求
解析 令x2=t，则
例3.9（南京大学1995年竞赛题） 
=________.
解析 分部积分，有
例3.10（南京大学1995年竞赛题） 求
解析 因（xex）′=ex（x+1），令xex=t，则
例3.11（江苏省2004年竞赛题） 
=________.
解析 因为
，所以
例3.12（江苏省2004年竞赛题） 
=________________.
解析 因为（xtanx）′=xsec2x+tanx，所以(https://www.daowen.com)
例3.13（全国大学生2013年决赛题） 计算不定积分
解析 令xln（1+x2）dx=dv，则
应用分部积分法，有
注：本题先令xarctanxdx=dv，求出v后再对原式分部积分，也可计算.
例3.14（解放军防化学院1992年竞赛题） 求
解析 令
=t，有x=ln（1+t2）-ln（1-t2），则
例3.15（北京市1999年竞赛题） 求
解析 令lnx=t，有x=et，所以
例3.16（江苏省2002年竞赛题） ∫arcsinx·arccosxdx=_________.
解析 分部积分，得
例3.17（江苏省2006年竞赛题） 求
例3.18（南京大学1996年竞赛题） 已知f″（x）连续，f′（x）≠0，求
解析 对被积函数的第二项分部积分，有
于是
例3.19（北京市1990年竞赛题） 计算
解析 原式
，令sin x-1=u，则
