3.2.3　利用定积分的定义求极限（例3.20—3.26）

3.2.3　利用定积分的定义求极限（例3.20—3.26）

例3.20（浙江省2007年竞赛题）　设

求：（1）

（1）由于所以

（2）由于所以

例3.21（南京大学1995年竞赛题）　求

解析　化为定积分计算，有

例3.22（江苏省2006年竞赛题）　已知f（x）=ax3，求

解析　化为定积分求极限，则

例3.23（莫斯科国民经济学院1976年竞赛题）　设f∈C［0，1］，f（x）＞0，求证：

解析　应用定积分的定义，有

例3.24（莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题）　求

解析　令

用放缩法，即

由定积分的定义，有

又，所以(https://www.daowen.com)

例3.25（南京大学1996年竞赛题）　已知

求f′（0）.

解析　当x≠0时，由于，记t=，则应用重要极限公式可得

当x=0时，应用定积分求极限，有

于是

故

例3.26（江苏省1996年竞赛题）　设

（1）讨论f（x）在x=0的可导性；

（2）求函数f（x）在［-π，π］上的最大值.

解析　（1）当x＞0时

当x=0时

记，显然1＜a＜.考虑级数，因为

这里bn=据比值判别法得级数收敛，由级数收敛的必要条件得

所以f（0）=1.当x＜0时f（x）=f（-x）==故

（2）0＜x≤π时，f′（x）=，令g（x）=xcosx-sinx，则g′（x）=-xsinx≤0，且仅当x=π时g′（x）=0，所以g（x）严格减，g（x）＜g（0）=0，所以f′（x）＜0，f（x）严格减.而f（x）为偶函数，故-π≤x＜0时f（x）严格增.因此f（x）在［-π，π］上的最大值为f（0）=1.