7.2.5　求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.55—7.61）

7.2.5　求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.55—7.61）

例7.55（江苏省1991年竞赛题）　函数f（x）=ln（1-x-2x2）关于x的幂级数展开式为________，该幂级数的收敛域为________.

解析　因为ln（1-u）=--1≤u＜1，所以

收敛域为-1＜x≤1与-1≤2x＜1的交集，即

例7.56（江苏省2000年竞赛题）　将f（x）=展开为x的幂级数，并指明收敛域.

解析　首先求f′（x）的幂级数展开式，有

这里|x|＜1.逐项求积分得

因f（0）=arctan1=所以

例7.57（南京大学1993年竞赛题）　函数f（x）=关于x的幂级数展开式中x3的系数为________，收敛半径为_________.

解析　由于|x|＜3时

逐项积分得

于是x3的系数（n=1时）为收敛半径为3.

例7.58（南京大学1995年竞赛题）　试将函数展为马克劳林级数，并写出其收敛域.

解析　因为

下面分别将g（x）=展为幂级数.因为

两边求导得

又因为(https://www.daowen.com)

所以f（x）的幂级数展式为

其收敛域为|x|＜3与|x|＜的交集，即|x|＜

例7.59（江苏省2008年竞赛题）　求f（x）=关于x的幂级数展开式，指出其收敛域.

解析　因为f（x）=又

令g（x）=则

即g（x）=故

例7.60（江苏省2008年竞赛题）　求f（x）=关于x的幂级数展开式，指出其收敛域.

解析　因f（x）=又

令g（x）=则

令h（x）=则

故

例7.61（精选题）　将幂级数的和函数展为x-1的幂级数.

解析　应用函数sinx的马克劳林展式得原级数的和函数为

令x-1=t，应用sinx与cosx的马克劳林展式，则