1.1.1 集合及其运算
1.集合
集合是现代数学的基础，是引入函数不可或缺的概念.所谓集合，指的是具有某种特定性质的事物或对象的全体；而构成集合的个别事物或者对象则称为集合的元素.通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素.
给定一个集合，集合中的元素就定了.注意，组成集合的元素既可以是数，也可以是所研究的任何对象.如果a是集合A中的元素，则称a属于A，记为a∈A；如果a不是集合A中的元素，则称a不属于A，记为a∉A.由有限个元素组成的集合称为有限集；由无穷多个元素所组成的集合则称为无限集；不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
集合的表示方法通常有两种：一种是列举法；另一种是描述法.列举法就是把集合的全体元素一一列出.例如，由元素a1，a2，…，an组成的集合A可表示成
A＝{a1,a2,…,an}
又比如自然数集可以表示为
N＝{0,1,2,…}
描述法是通过描述集合中元素所具有的特定性质来表示集合，可以表示为
B＝{x|x所具有的性质}
例如，满足方程x2-3＝0的解集所组成的集合B可表示为
B＝{x|x2-3＝0}
有时一个集合可以用不同的表示方法表示，但不管用什么方法表示，只要集合中的元素是一样的，就表示是同一个集合.例如，集合{x|x2-3＝0}与集合
表示的是同一个集合.高等数学研究的对象为函数，用到的集合主要是数集.全体非负整数即自然数构成的集合称为自然数集，记作N；全体整数构成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数构成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数构成的集合称为实数集，记作R.
如果集合A的元素都是集合B的元素，即若x∈A，则必有x∈B，则称集合A是集合B的子集，记作A⊂B，读作“A包含于B”，也可记作B⊃A，读作“B包含A”.空集为任何集合的子集.自然数集、整数集、有理数集和实数集有下面的包含关系：
N⊂Z⊂Q⊂R
如果A⊂B且B⊂A，就称集合A与B相等，记作A＝B.
2.集合的运算
集合的基本运算有三种：并集、交集和差集.
设有集合A和B，由所有属于A或B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B，即(https://www.daowen.com)
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为集合A与B的交集，记作A∩B，即
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为集合A与B的差集，记作A\B，即
A\B＝{x|x∈A且x∉B}
两个集合的并集、交集和差集如图1.1所示的阴影部分.
图1.1 并集、交集和差集
显然有如下的关系.
A\B⊂A⊂A∪B,A∩B⊂A,A∩B⊂B
集合的运算规律如下.
设A，B，C为三个任意的集合，则有下列的运算规律成立.
（1）交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A.
（2）结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）.
（3）分配律：（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C），（A\B）∩C＝（A∩C）\（B∩C）.
（4）幂等律：A∪A＝A，A∩A＝A.
（5）吸收率：A∪∅＝A，A∩∅＝∅，若A⊂B，则A∪B＝B，A∩B＝A.
