1.1.3　区间和邻域

1.1.3　区间和邻域

1.区间

区间是微积分中最常见的一类数集，它可以看作数轴上的点集.设a和b都是实数，且a＜b，则开区间可以用数集{x|a＜x＜b}表示，记作（a，b），即

(a,b)＝{x|a＜x＜b}

a和b称为开区间（a，b）的端点，它们不属于开区间（a，b）的点，即a∉（a，b），b∉（a，b）.闭区间可以用数集{x|a≤x≤b}表示，记作[a，b]，即

[a,b]＝{x|a≤x≤b}

a和b也称为闭区间[a，b]的端点，它们属于闭区间[a，b]的点，即a∈[a，b]，b∈[a，b].同样可以定义半开半闭区间为

[a,b)＝{x|a≤x＜b}

(a,b]＝{x|a＜x≤b}

数b-a称为这几种区间的长度，上述区间都称为有限区间，它们在数轴上可用有限长度的线段来表示，如图1.2所示.除了有限区间还有无限区间.引进记号∞（读作无穷大），+∞（读作正无穷大）及-∞（读作负无穷大），则无限区间可表示为

[a,+∞)＝{x|a≤x}

(-∞,b]＝{x|x≤b}

(a,+∞)＝{x|a＜x}

(-∞,b)＝{x|x＜b}

上述无限区间在数轴上可用无限长度的半直线来表示，如图1.3所示.全体实数的集合R可表示为（-∞，+∞），它是无限的开区间.区间可用大写字母I来表示，它是英语单词Interval（区间）的首字母，这在数学里是常见的表示方法.

图1.2　有限区间

(https://www.daowen.com)

图1.3　无限区间

2.邻域

邻域是一种特殊的区间，也是微积分中经常用到的一个概念.设a，δ∈R，且δ＞0.数集

称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），即

a为δ邻域的中心，δ为邻域的半径.由于|x-a|＜δ可表示为

a-δ＜x＜a+δ

因此，δ邻域又可表示为

U(a,δ)＝{x|a-δ＜x＜a+δ}＝(a-δ,a+δ)

所以δ邻域是以点a为中心，a-δ和a+δ分别为左右端点，长度为2δ的开区间，如图1.4所示，它表示数轴上与点a距离小于δ的一切点x的全体.

图1.4　邻域

有时根据要求需要把邻域中心点a去掉，即x≠a，去掉中心的δ邻域称为点a的去心δ邻域，记作，可表示为

若不强调邻域半径大小，邻域和去心邻域可分别简记为U（a）和U◦（a）.有时需要分别考查点a两侧的小区间，将区间（a-δ，a]和[a，a+δ）分别称为点a的左δ邻域和右δ邻域，相应地也有点a的左去心δ邻域和右去心δ邻域，它们分别可表示为（a-δ，a）和（a，a+δ）.