1.3.2　复合函数

1.3.2　复合函数

在很多情况下，两个变量之间的联系要通过第三个变量也称中间变量来建立.比如，设

y＝sinu，而u＝ex

将u＝ex代入y＝sinu，可得

y＝sinex

这个过程称为函数的复合，下面给出复合函数的定义.

定义1.3.2　设函数链由两个函数y＝f（u），u∈D1和u＝g（x），x∈D构成，u＝g（x）的值域为g（D），且g（D）⊂D1，则由下式所确定的函数

y＝f[g(x)],x∈D(https://www.daowen.com)

称为由函数y＝f（u）与u＝g（x）复合而成的复合函数，u称为复合函数的中间变量.

如图1.13所示可以形象地表示出函数复合的过程，图中Y＝f（D1）表示函数y＝f（u）的值域.

图1.13　函数的复合

注意：构成复合函数的条件g（D）⊂D1不可少，它表示函数g（x）的值域必须包含在函数f（u）的定义域内，这保证了两个函数能复合而成复合函数.比如，函数y＝arcsinu和u＝可以构成复合函数，但函数的定义域不能选为[-1，1]，这是因为y＝arcsinu的定义域为[-1，1]，所以要求函数的值域包含于区间[-1，1]内，也即，解得.再比如，函数y＝arcsinu和u＝2+x2不能构成复合函数，这是因为函数u＝2+x2的值域为[2，+∞），而y＝arcsinu的定义域为[-1，1]，不满足复合函数构成的条件.

复合函数的定义可以推广到由2个以上的函数复合的情形.比如，复合函数y＝是由三个函数复合而成.这里，u和v为中间变量.