1.3.1　反函数

函数y＝f（x）描述的是两个变量之间的对应关系，一般选x为自变量，y为因变量，但自变量和因变量之间的对应关系是相对的.例如，圆面积公式S＝πr2（r＞0），若已知圆的半径r而求圆的面积S，则半径r是自变量而面积S是因变量.有时需要反过来考虑问题，即已知圆的面积S而求圆的半径r，可从上式解得，此时圆的面积S为自变量而半径r为因变量.在数学上，一般把一个函数的自变量和因变量进行对换后所能得到的新函数称为原来函数的反函数.如果将S＝πr2（r＞0）视为原函数，则即为反函数.下面给出反函数的定义.

定义1.3.1　设函数y＝f（x）的定义域是数集D，值域是W＝f（D）.若对任意的y∈W，都有唯一的x（x∈D）与之对应，且满足f（x）＝y，则这个对应法则定义了在W上的一个新函数，这个新函数称为y＝f（x）在D上的反函数，记作

x＝f-1(y),y∈W

相对于反函数x＝f-1（y）来说，原来的函数y＝f（x）称为直接函数.反函数表达式x＝f-1（y）中的x表示因变量，y表示自变量，而一般习惯上用x表示自变量，y表示因变量，所以，在讨论反函数时常常将反函数表达式中的字母x和y对换，改写为y＝f-1（x）.故以后提到反函数都采用这种形式，反函数的定义域为W＝f（D），值域为D.从反函数的定义可知，直接函数和反函数的定义域和值域互换，且直接函数和反函数是相对而言的，即可以把直接函数看成反函数，那么反函数就成为直接函数.

反函数y＝f-1（x）的图形与函数y＝f（x）的图形关于直线y＝x对称，如图1.12所示，点P（a，b）在曲线y＝f（x）上，则点Q（b，a）一定在曲线y＝f-1（x）上，而点P（a，b）与Q（b，a）关于直线y＝x对称.例如，指数函数y＝ex，x∈（-∞，+∞）与对数函数y＝lnx，x∈（0，+∞）互为反函数，其图形关于直线y＝x对称.

根据直接函数和反函数的定义可知，并不是每个函数都有反函数，只有当函数y＝f（x）为一一对应时才有反函数.

图1.12　原函数和反函数的关系

例如，函数y＝x2的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞），由于对于任意一个y值都有两个x值与之对应，所以函数y＝x2在其定义域内没有反函数.若选取函数y＝x2的定义区间为（-∞，0]（或[0，+∞）），函数单调递减（或增），其反函数为（或，也为单调递增（或减）函数，此时y与x是一一对应的，存在反函数.

再比如，正弦函数y＝sinx的定义域为（-∞，+∞），值域为[-1，1].由于对于任意的y∈[-1，1]，在（-∞，+∞）内有无穷多个x值（满足sinx＝y）与之对应，因此y＝sinx在其定义域不存在反函数.若选取正弦函数的定义域为它的一个单调递增区间，这样得到的函数就存在反函数，称为反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是[-1，1]，值域是，也为单调递增函数.