2.4.1 极限的四则运算法则
先给出函数极限的四则运算法则，为了书写简便，引入“lim”，若其符号下面没有标明自变量的变化过程，则表示下面的结果对x→x0及x→∞时都是成立的.
定理2.4.1（函数极限的四则运算法则） 如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，那么
(1)lim[f(x)±g(x)]＝A±B＝limf(x)±limg(x);
(2)lim[f(x)g(x)]＝AB＝limf(x)limg(x);
（3）若B≠0，则有
证明 因limf（x）＝A，limg（x）＝B，由第2.3节的定理2.3.1（无穷小与函数极限的关系）有
f(x)＝A+α,g(x)＝B+β
式中，α，β都是自变量在同一变化过程中的无穷小，于是有
(1)f(x)±g(x)＝(A+α)±(B+β)＝(A±B)+(α±β).
又由第2.3节的定理2.3.2可知，α±β是无穷小，并可得
lim[f(x)±g(x)]＝A±B＝limf(x)±limg(x)
(2)f(x)g(x)＝(A+α)(B+β)＝AB+αB+βA+αβ.
又由第2.3节的定理2.3.3的推论2.3.1和推论2.3.2可知，αβ和αB+βA都是无穷小并由定理2.3.1可得
lim[f(x)g(x)]＝AB＝limf(x)limg(x)
结论（3）的证明略.
定理2.4.1中的结论（1）和结论（2）可推广到有限个函数的情形，例如，如果limf（x），limg（x），limh（x）都存在，则由结论（1）有
lim[f(x)+g(x)-h(x)]
＝lim{f(x)+[g(x)-h(x)]}
＝limf(x)+lim[g(x)-h(x)]
＝limf(x)+limg(x)-limh(x)
由结论（2），有
lim[f(x)g(x)h(x)]
＝lim{[f(x)g(x)]h(x)}
＝lim[f(x)g(x)]limh(x)
＝limf(x)limg(x)limh(x)
关于定理2.4.1中的结论（2），有如下推论.
推论2.4.1 如果limf（x）存在，而C为常数，则
lim[Cf(x)]＝Climf(x)
推论2.4.2 如果limf（x）存在，而n为正整数，则
lim[f(x)]n＝[limf(x)]n
推论2.4.1表明，在求极限时，常数因子可以提到极限号外来，这是因为常数的极限是它自己，即limC＝C.
由于数列是以正整数n为自变量的函数，所以数列也具有上述的四则运算法则.下面给出具体的形式，证明从略.
定理2.4.1′（数列极限的四则运算法则） 设有数列{xn}和{yn}，如果
，
，那么
(1)
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(2)
;
（3）若yn≠0，且b≠0，则有
注：极限四则运算法则成立的前提条件是：所求极限表达式分开以后每项的极限都存在，若分开项中有极限不存在的项（如下面的例2.4.7），则极限四则运算法则失效，需变换后再求解.
例2.4.1 
.
解 
注：本题除运用了极限的运算法则外，还运用了极限
.
例2.4.2 求
.
解 
上式的运算要求分母的极限不为零，否则极限商的法则不能应用，我们也可得更一般的结论：
仅要求等式右边分母不等于零，这样极限运算就变成了函数的求值运算了.下面举例说明分母为零时极限如何运算.
例2.4.3 
.
解 由于x→3时，分母极限是零，所以不能直接把x＝3代入函数求值，但可在x→3，x≠3，也即x-3≠0时对函数进行化简，从而有
注：在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则.常用的变形方法有：通分，约去非零因子（本题采用的方法），用非零因子同乘或同除分子、分母，分子或分母有理化，等等.
例2.4.4 
.
解 由于当x→∞时，分子、分母的极限都为无穷大，这种极限形式也称为
型未定式极限，不能直接利用极限的四则运算法则，但分子分母可以同除以x2，从而有
注：当两个多项式函数相除且分子、分母都趋于无穷大时，可以将分子、分母同除以最高次项，然后就可以运用法则进行计算了，数列极限也可以这样去求.
例2.4.5 
.
解 仍然是
型未定式极限，分子、分母可以同除以x3，从而有
例2.4.6 
.
解 由于被求极限函数的倒数极限值为0，见例2.4.5，从而有
由例2.4.4～例2.4.6的求解可以得出下面更一般性的结论，当a0≠0，b0≠0，且m和n为非负整数时，有
例2.4.7 
.
解 由于
不存在，所以不能直接运用定理2.4.1（1）的运算法则，需要通分，即
注：当两个函数相加减求极限且各自单独均无极限时，可先通分合并成两个函数相除的形式后再求极限.
例2.4.8 求
解 分子有理化，得
