2.6 无穷小的比较
学习目标与要求
（1）掌握无穷小量阶的比较；
（2）掌握用等价无穷小替换求极限的方法.
由无穷小的性质可知，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小.但是，对于两个无穷小的商，却会出现不同的情况.例如，当x→0时，x，2x，x2，sinx
都是无穷小，而
（极限不存在），两无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了在同一过程中，不同的无穷小趋于0的“快慢”程度不一样.从上面的极限值可知，在x→0的过程中，x2→0比2x→0要快得多，反过来2x→0比x2→0要慢得多，而sinx→0与x→0大致相同，x2sin
和x2→0不可比，为了说明无穷小趋于0的快慢程度，本节引入无穷小阶的概念对无穷小的量级建立一个评判法则.
定义2.6.1 设α（x）和β（x）都是在自变量的同一变化过程中（x→x0或x→∞）的无穷小：
（1）如果
，则称β（x）是比α（x）高阶的无穷小，记作β（x）＝o（α（x））；
（2）如果
，则称β（x）是比α（x）低阶的无穷小；
（3）如果
，则称β（x）是α（x）的同阶无穷小；特别地，当C＝1时，则称β（x）与α（x）是等价无穷小，记作α（x）～β（x）；
（4）如果
，则称β（x）是关于α（x）的k阶无穷小.
注：（1）在自变量的同一变化过程中，并不是任何两个无穷小都可以比较，比如在x→0的过程中
和x2→0不可比，因为它们比值的极限值不存在；
（2）在自变量的同一变化过程中，无穷大也有类似于无穷小量级比较的概念；
（3）定义中的lim表示函数在x→x0和x→∞以及数列在n→∞时的情况都适用.
根据上述定义，当x→0时，x2是比2x更高阶的无穷小，即x2＝o（2x）；而2x是比x2更低阶的无穷小
与x是同阶无穷小；sinx与x是等价无穷小，即sinx～x；
是
的4阶无穷小.
直观上，两个无穷小之间的比较情况反映了两个无穷小趋于0的速度的快慢.如若β（x）是比α（x）高阶的无穷小，则β（x）比α（x）趋于0的速度要“快”得多，若β（x）与α（x）是同阶无穷小，则β（x）与α（x）趋于0的速度差不多.
根据等价无穷小的定义，可以得到x→0时常用的等价无穷小：
（1+x）α-1～αx（α≠0是常数）也可表示为
注：上述等价无穷小中的x也可以换成某个x的函数φ（x），只要在变化的过程中φ（x）→0即可，比如
例2.6.1 证明当x→0时
.
证明 
利用公式an-bn＝（a-b）（an-1+an-2b+…+bn-1）将上式有理化，得
例2.6.2 证明当x→0时，（1）arcsinx～x；（2）ln（1+x）～x；（3）ex-1～x
证明 （1）令y＝arcsinx，则x＝siny，因x→0，所以y→0，故有
所以arcsinx～x.
（2）由复合函数的运算法则，有
所以ln（1+x）～x.(https://www.daowen.com)
（3）令y＝ex-1，则x＝ln（y+1），因x→0，所以y→0，故有
所以ex-1～x.
等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况，有着广泛的应用，下面给出关于等价无穷小的两个重要定理.
定理2.6.1 在自变量的某一变化过程中，β与α是等价无穷小的充分必要条件为β＝α+o（α），称α是β的主要部分.
证明 （1）必要性：设α～β，即
，则
因此β-α＝o（α），即β＝α+o（α）.
（2）充分性：设β＝α+o（α），即
，则
因此α～β.
注：两个等价无穷小不一定相等，它们的差为其中的一个高阶无穷小，也即β与α的差为比β（或α）高阶的无穷小.
定理2.6.2（等价无穷小代换定理） 设α（x），α1（x），β（x），β1（x）是同一个自变量变化过程中的无穷小，又α（x）～α1（x），β（x）～β1（x），且
存在，则
证明 由于
，根据极限的四则运算法则，有
定理中lim表示，对函数（x→x0或x→∞）和数列（n→∞）都成立，且定理表明，在求两个无穷小之比的极限时，分子、分母中的无穷小可分别用它们的等价无穷小代替，以简化求极限的过程.
例2.6.3 
.
解 当x→0时，tan2x～2x，sin3x～3x，所以
例2.6.4 
.
解 
例2.6.5 
.
解 当x→0时
，所以
例2.6.6 
.
解 
上面的做法是错误的，这是由于当x→0时，tanx-sinx与x-x＝0不是等价无穷小，正确的解法是
注：运用定理2.6.2时，乘除运算中的无穷小可用其等价无穷小替换，但加减运算中的无穷小却不能随意用其等价无穷小替换.
