3.4.1 函数的高阶导数
1.高阶导数的定义
定义3.4.1 一般地，函数y＝f（x）的导数y′＝f′（x）仍是x的函数，若导数f′（x）还可以对x求导，则称f′（x）的导数为函数y＝f（x）的二阶导数.记作y″或者
，即
还可以记作f″（x）＝[f′（x）′]或者
.类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，依此类推，一般地，n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作
如果y＝f（x）在x处有n阶导数，那么y＝f（x）在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数.为统一起见，将y＝f（x）的导数f′（x）称为函数y＝f（x）的一阶导数，f（x）本身称为函数y＝f（x）的零阶导数.
求函数高阶导数的方法就是逐次求导，所以仍可用前面学习过的方法来计算高阶导数.从几何上分析，若函数一阶可导，即函数每一点都有切线，则曲线是比较光滑的，若函数二阶可导，由于一阶导数（函数的切线）是光滑的，所以函数本身的图形具有更好的光滑性，因此，如果函数具有导数的阶越高，那么其曲线具有的性态就越好.
例3.4.1 求y＝ex2+tanx的二阶导数y″.
解 一阶导数为
y′＝2xex2+sec2x
二阶导数为
y″＝2ex2+4x2ex2+2sec2xtanx
例3.4.2 设函数y＝x4，求y′，y″，y‴，y（4），y（5），y（6），…
解 y′＝（x4）′＝4x4-1＝4x3
y″＝(y′)′＝(4x3)′＝12x2
y‴＝(y″)′＝(12x2)′＝24x
y(4)＝(y‴)′＝(24x)′＝24
y(5)＝(y(4))′＝(24)′＝0
y(6)＝y(7)＝…＝0
一般地，若y＝xn，n∈N+，则
式中，排列数
.
2.隐函数的二阶导数
在第3.3节学习了利用隐函数直接求导法求隐函数的一阶导数，具体分为三步，读者可参看上一节的内容.下面给出隐函数的二阶求导方法.
例3.4.3 求由方程所确定的隐函数的二阶导数.
解 利用隐函数的直接求导方法，两边同时对x求导，得
整理后，可得
上式右端仍然是隐函数，所以可将上式两边按照隐函数的求导运算法则再对x求导，得
例3.4.4 设y＝y（x）由方程ey+xy＝e确定，求y′（0），y″（0）.
解 利用隐函数的直接求导方法，两边同时对x求导，得
将式（3-1）两边再对x求导，得
即
将x＝0代入方程ey+xy＝e，可得y＝1，并将其代入式（3-1），得
将上式连同x＝0和y＝1一起代入式（3-2），得
注：本题若先求出y′和y″的表达式，再求y′（0）和y″（0），反而显得麻烦.
3.由参数方程确定函数的二阶导数
由参数方程确定的函数的一阶导数可以看出，参数方程所确定的函数的一阶导数仍然是参数方程确定的函数，即
若x＝φ（t），y＝ψ（t）二阶可导，还可以求参数方程所确定的函数y＝y（x）的二阶导数，则有
即
此即为由参数方程确定的函数二阶导数求导方法，下面举例说明.
例3.4.5 计算由摆线的参数方程
(https://www.daowen.com)
所确定的函数y＝y（x）的二阶导数.
解 先求参数方程确定函数的一阶导数，得
再求参数方程确定函数的二阶导数，得
注：由例3.4.5可知，在具体求参数方程确定的函数的一阶和二阶导数时，应掌握下面的计算公式：
和
4.常见初等函数的n阶导数举例
下面使用递推并加以归纳的方法给出几个常见初等函数的n（n∈N+）阶导数.
例3.4.6 求函数y＝ex的n阶导数.
解 y′＝ex，y″＝ex，y‴＝ex，y（4）＝ex
一般地，可得
y(n)＝ex
即
(ex)(n)＝ex
例3.4.7 求函数y＝ax，（a＞0，a≠1）的n阶导数.
解 y′＝axlna，y″＝ax（lna）2，y‴＝ax（lna）3，y（4）＝ax（lna）4
一般地，可得
y(n)＝ax(lna)n
即
(ax)(n)＝ax(lna)n
例3.4.8 求函数y＝sinx的n阶导数.
解
一般地，可得
即
例3.4.9 求函数y＝cosx的n阶导数.
解
一般地，可得
即
例3.4.10 求函数y＝ln（1+x）（x＞-1）的n阶导数.
解
一般地，可得
例3.4.11 求函数
的n阶导数.
解
一般地，可得
