3.5.1 微分的定义
在很多问题中，常常要研究函数y＝f（x）的微小改变量Δy＝f（x+Δx）-f（x）与自变量改变量Δx之间的关系，主要是为了求得函数的改变量Δy.对线性函数y＝kx+b而言，Δy是Δx的线性函数，即Δy＝kΔx；对非线性函数而言，一般Δy与Δx的关系比较复杂，比如y＝x2，则Δy＝（x+Δy）2-x2＝2xΔx+（Δx）2，其中2xΔx为线性部分，（Δx）2是非线性部分，非线性部分往往不易求其值，而在好多实际问题中，只需要计算它的线性部分去近似代替函数的改变量Δy，而这个近似的线性部分可以用微分来表示.下面以实例引入微分的概念.
引例3.5.1 一块边长为x0的正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x0变化到x0+Δx，如图3.6所示，问此薄片的面积改变了多少？
正方形金属薄片的面积为x20，均匀加热后薄片边长伸长Δx，其对应的面积改变量也即面积的增量为
ΔS由两部分组成：一部分是长为x0，宽为Δx的两个长方形面积之和；另一部分是边长为Δx的小正方形的面积.当Δx很小时，（Δx）2更小，是Δx的高阶无穷小，是面积改变量ΔS的次要部分，所以可以忽略不计，这样面积改变量ΔS的大小就取决于第一部分2x0Δx，它是Δx的线性部分，称为线性主部，可以作为面积改变量ΔS的近似值，即
图3.6 正方形金属薄片 面积的改变
线性主部2x0Δx称为面积函数S＝x2在点x0处的微分.一般地，有如下的微分定义.
定义3.5.1 若函数y＝f（x）在某区间内有定义，x0和x0+Δx都在这个区间内，若自变量有增量Δx时，相应的函数的增量Δy可表示为
式中，A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y＝f（x）在点x0处可微，线性主部AΔx称为函数y＝f（x）在x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy或df（x0），即
函数在某点可微是需要一定的条件的，这个条件就是可导，虽然函数在某点可导是由极限定义的，而可微是按照函数的改变量是否能表示为自变量改变量的线性函数及其高阶无穷小之和（Δy＝AΔx+o（Δx））定义的，但事实上，这两个概念只是从不同侧面揭示了问题的同一本质.在一元函数中，函数可导与可微是等价的，下面以定理的形式给出.
定理3.5.1 函数y＝f（x）在点x0处可微的充分必要条件是函数y＝f（x）在x0处可导，且当f（x）在点x0处可微时，其微分一定是
dy＝f′(x0)Δx
证明 必要性：因为y＝f（x）在点x0处可微，所以有
Δy＝AΔx+o(Δx)
式中，A是不依赖于Δx的常数，o（Δy）是Δx→0时的高阶无穷小，所以
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即函数y＝f（x）在x0处可导，且A＝f′（x0）
充分性：因为函数y＝f（x）在x0处可导，所以有
由函数极限与无穷小的关系定理可得
所以
Δy＝f′(x0)Δx+αΔx＝f′(x0)Δx+o(Δx)
所以函数y＝f（x）在点x0处可微，且f′（x0）＝A.
规定自变量的微分等于自变量的改变量，即dx＝Δx，所以，函数y＝f（x）在点x0处的微分可写成dy＝f′（x0）dx或df（x0）＝f′（x0）dx；函数y＝f（x）在区间I上任意一点x处的微分可写成
dy＝f′(x)dx
也即
这就是说，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，因此，导数也称为“微商”，这正是把导数记作
的 一个原因.
注：由定理3.5.1可知，对一元函数来说，函数可导性与可微性是两个等价的概念，以后我们不再区分它们；而且，求出函数的导数之后，只要再乘以dx，就得到相应的微分.但是，函数的导数与微分是两个不同的概念.
例3.5.1 求函数y＝x3，在x0＝2，Δx＝0.02时，函数的改变量Δy和函数的微分dy.
解 函数的改变量
Δy＝f(x0+Δx)-f(x0)＝(2+0.02)3-23＝0.242408
函数的微分
注：Δy-dy＝0.002408，所以可用Δy近似代替dy，即Δy≈dy.
